Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
La problématique générale du chaos déterministe est de prévoir les comportements à long terme d’un système physique, connaissant les lois déterministes qui le gouverne. La difficulté est la « sensibilité aux conditions initiales » rendant impossible une prédiction précise mais suggérant des prédictions probabilistes. La démarche scientifique générale est présentée ici avec le modèle historique de Lorenz qui décrit au départ le mouvement de convection d’un fluide. Une étude des trajectoires nous montre la propriété de « sensibilité aux conditions initiales » et l’on déduit quelques propriétés statistiques conformes aux observations, comme l’attraction des trajectoires vers un ensemble fractal appelé « attracteur étrange » et leurs fluctuations statistiques.
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Frédéric FAURE : Maitre de conférences - Université Grenoble Alpes - Institut Fourier, UMR 5582, Laboratoire de Mathématiques, Grenoble, France
INTRODUCTION
Le paradoxe du chaos déterministe est que des systèmes physiques peuvent être soumis à des lois précises appelées déterministes et d’apparence simple, mais cependant manifester un comportement qui semble complexe et aléatoire. De tels systèmes dynamiques se rencontrent dans tous les domaines des sciences, voici quelques exemples :
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en mathématiques fondamentales : les nombres premiers ont une définition très simple (ce sont les entiers sans autres diviseurs que eux-même) mais dont la répartition semble complexe et aléatoire, associée à une célèbre conjecture : l’hypothèse de Riemann. Il y a aussi le mouvement géodésique d’un point dans un espace compact de courbure négative ;
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historiquement, parmi les première lois physiques découvertes, il y a les lois d’attraction gravitationnelles qui gouvernent le système solaire (Newton 1687) et expliquent le mouvement simple et presque périodique des orbites planétaires. On sait maintenant que ces mouvements sont en fait très chaotiques à l’échelle des millions d’années. Poincaré (1890) a été le précurseur des études sur le chaos déterministe avec son étude du fameux problème à trois corps ;
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le mouvement d’un fluide qui comporte une infinité de degrés de liberté est plus complexe. En régime appelé turbulent il semble chaotique. Ces modèles sont très importants en météorologie pour comprendre la dynamique de l’écoulement autour des ailes d’avion, des rivières, des océans et de l’atmosphère. Comme expliqué dans cet article, Lorenz (1965) a proposé un modèle très schématique et simplifié obtenant un modèle avec trois variables mais qui est très chaotique ;
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en acoustique musicale, le mouvement de la hanche d’une clarinette ou d’un basson sous un flux d’air trop fort a une dynamique chaotique qui produit un son désagréable appelé « canard » .
L’étude de tels systèmes dynamiques se fait depuis longtemps déjà et de nombreuses techniques sont utilisées et toujours découvertes : l’algèbre linéaire pour la stabilité des points fixes et des trajectoires, l’analyse fonctionnelle et les probabilités pour décrire les propriétés statistiques, etc. Les expériences numériques sont aussi très utiles pour observer de nouveaux phénomènes.
Note au lecteur : les liens des quelques animations vidéos qui illustrent chaque parties de cet article se trouvent dans la rubrique Sites Internet du Pour en savoir plus. Dans cet article nous ne mettons pas les preuves et calculs détaillés des propositions, mais elles sont disponibles dans un cours plus complet sur les systèmes dynamiques disponible sur la page web du cours de systèmes dynamiques et chaos (chap. 7 de ).
Le lecteur pourra également consulter les références générales .
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Modèle de Lorenz pour l’hydrodynamique1. Le problème de prédiction
Une question fondamentale que l’on associe à la « théorie des systèmes dynamiques » est :
Problème 1 (problème de prédiction). « Connaissant les lois d’évolution, prévoir le comportement effectif à temps longs, prévoir des phénomènes observables. »
Avant de discuter ce problème, précisons que « loi d’évolution » signifie une règle ou une formule qui, connaissant l’état du système à un instant
, donne l’état à l’instant ultérieur mais proche
. Cette loi peut être une loi déterministe, si l’état futur est déterminé de façon unique à partir de l’état présent, et/ou une loi probabiliste si l’état futur est donné par une distribution de probabilité à partir de l’état présent. La physique a découvert que les lois d’évolution fondamentales dans la nature sont assez simples : ce sont les lois de la « mécanique ». En gros chaque particule interagit avec ses voisines de façon précise et simple. On dit que les lois sont « locales ». En mécanique classique les lois sont déterministes. En mécanique quantique, les lois quantiques sont probabilistes et concernent l’amplitude de probabilité.
L’humanité s’interroge sur cette question depuis la nuit des temps. Les premières réponses sont venues avec le mouvement des astres dans le ciel étoilé car ce mouvement est au premier abord assez simple et donc prévisible. Cela a marqué notre culture. Les sept objets célestes visibles qui bougent par rapport au ciel étoilé sont : la Lune (lundi), Mars (mardi), Mercure (mercredi), Jupiter (jeudi), Venus (vendredi), Saturne (samedi), le Soleil (dimanche, sunday) (voir figure 1).
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Illustration avec deux suites
On pourrait croire que si la...
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Le problème de prédiction
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ARAÚJO (V.), MELBOURNE (I.), VARANDAS (P.) - Rapid mixing for the lorenz attractor and statistical limit laws for their time-1 maps. - Communications in Mathematical Physics, 340(3) : 901–938 (2015).
-
(2) - ARAÚJO (V.), MELBOURNE (I.) - Exponential decay of correlations for nonuniformly hyperbolic flows with a C1 + α stable foliation, including the classical lorenz attractor. - In Annales Henri Poincaré, volume 17, pages 2975–3004. Springer (2016).
-
(3) - BRIN (M.), STUCK (G.) - Introduction to Dynamical Systems. - Cambridge University Press (2002).
-
(4) - BUNIMOVICH (L.A.) - Statistical properties of lorenz attractors. - Nonlinear dynamics and turbulence, pages 71–92 (1983).
-
(5) - CANESTRARI (G.), LIVERANI (C.), OLLA (S.) - Heat equation from a deterministic dynamics - (2023).
-
...
ANNEXES
Courants océaniques : https://earth.nullschool.net/
Expériences numériques de Rayleigh-Benard :
https://www.youtube.com/watch?v=OM0l2YPVMf8
https://www.youtube.com/watch?v=nveHV29gD-E
https://www.youtube.com/watch?v=P8Cs2tO5w74
Code en C des expériences : http://markjstock.org/vic2d/
Moulin de Lorenz : https://www.youtube.com/watch?v=0FX-l_RDe64&t=367s
Vidéo Attracteurs étranges (J. Leys) : https://www.youtube.com/watch?v=3T0T0_0zHNc&t=514s
Mesure SRB (Sinai-Ruelle-Bowen), mélange (§5.2), pile et face (§5.3.1), théorème central limite et vidéos relatives aux figures 13, 14, 15 et 16, et à la remarque 19 :
https://www.fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement/systèmes_ dynamiques/Animations/videos_du_cours_systèmes_dynamiques.xhtml
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