Introduction au chaos déterministe avec le modèle de Lorenz

Le paradoxe du chaos déterministe est que des systèmes physiques peuvent être soumis à des lois précises appelées déterministes et d’apparence simple, mais cependant manifester un comportement qui semble complexe et aléatoire. De tels systèmes dynamiques se rencontrent dans tous les domaines des sciences, voici quelques exemples :

• en mathématiques fondamentales : les nombres premiers ont une définition très simple (ce sont les entiers sans autres diviseurs que eux-même) mais dont la répartition semble complexe et aléatoire, associée à une célèbre conjecture : l’hypothèse de Riemann. Il y a aussi le mouvement géodésique d’un point dans un espace compact de courbure négative ;

• historiquement, parmi les première lois physiques découvertes, il y a les lois d’attraction gravitationnelles qui gouvernent le système solaire (Newton 1687) et expliquent le mouvement simple et presque périodique des orbites planétaires. On sait maintenant que ces mouvements sont en fait très chaotiques à l’échelle des millions d’années. Poincaré (1890) a été le précurseur des études sur le chaos déterministe avec son étude du fameux problème à trois corps ;

• le mouvement d’un fluide qui comporte une infinité de degrés de liberté est plus complexe. En régime appelé turbulent il semble chaotique. Ces modèles sont très importants en météorologie pour comprendre la dynamique de l’écoulement autour des ailes d’avion, des rivières, des océans et de l’atmosphère. Comme expliqué dans cet article, Lorenz (1965) a proposé un modèle très schématique et simplifié obtenant un modèle avec trois variables mais qui est très chaotique ;

• en acoustique musicale, le mouvement de la hanche d’une clarinette ou d’un basson sous un flux d’air trop fort a une dynamique chaotique qui produit un son désagréable appelé « canard » .

L’étude de tels systèmes dynamiques se fait depuis longtemps déjà et de nombreuses techniques sont utilisées et toujours découvertes : l’algèbre linéaire pour la stabilité des points fixes et des trajectoires, l’analyse fonctionnelle et les probabilités pour décrire les propriétés statistiques, etc. Les expériences numériques sont aussi très utiles pour observer de nouveaux phénomènes.

Note au lecteur : les liens des quelques animations vidéos qui illustrent chaque parties de cet article se trouvent dans la rubrique Sites Internet du Pour en savoir plus. Dans cet article nous ne mettons pas les preuves et calculs détaillés des propositions, mais elles sont disponibles dans un cours plus complet sur les systèmes dynamiques disponible sur la page web du cours de systèmes dynamiques et chaos (chap. 7 de ).

Le lecteur pourra également consulter les références générales .