Les fonctions à variations bornées sont des fonctions intégrables particulières dont les variations totales sont finies. Elles tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne. Cet article présente les fonctions à variations bornées d’une seule variable et de plusieurs variables, avec des exemples et des contre-exemples. Une partie est consacrée aux ensembles à périmètres distributionnels finis (i.e. les ensembles de Caccioppoli), ainsi qu’à la présentation de généralisations, extensions et restrictions. Plusieurs exemples concrets d’applications pratiques en analyse fonctionnelle, géométrie, probabilités et statistiques, physique et imagerie mathématique sont détaillés.
La théorie classique d'évaluation du prix d’un produit dérivé est ici présentée. De plus, le modèle de Black et Scholes et, plus généralement, les modèles à volatilité locale, qui sont construits à partir d’un mouvement brownien, sont présentés. Des procédures numériques d’évaluation sont exposées avec le code en Python. Enfin, on présente une nouvelle approche qui se passe de la notion de probabilité de risque neutre en temps discret.
La problématique générale du chaos déterministe est de prévoir les comportements à long terme d’un système physique, connaissant les lois déterministes qui le gouverne. La difficulté est la « sensibilité aux conditions initiales » rendant impossible une prédiction précise mais suggérant des prédictions probabilistes. La démarche scientifique générale est présentée ici avec le modèle historique de Lorenz qui décrit au départ le mouvement de convection d’un fluide. Une étude des trajectoires nous montre la propriété de « sensibilité aux conditions initiales » et l’on déduit quelques propriétés statistiques conformes aux observations, comme l’attraction des trajectoires vers un ensemble fractal appelé « attracteur étrange » et leurs fluctuations statistiques.
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