Présentation
RÉSUMÉ
Les fonctions à variations bornées sont des fonctions intégrables particulières dont les variations totales sont finies. Elles tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne. Cet article présente les fonctions à variations bornées d’une seule variable et de plusieurs variables, avec des exemples et des contre-exemples. Une partie est consacrée aux ensembles à périmètres distributionnels finis (i.e. les ensembles de Caccioppoli), ainsi qu’à la présentation de généralisations, extensions et restrictions. Plusieurs exemples concrets d’applications pratiques en analyse fonctionnelle, géométrie, probabilités et statistiques, physique et imagerie mathématique sont détaillés.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Etienne
INTRODUCTION
Les fonctions à variations bornées tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne récente (surtout depuis la fin du XX e siècle). Les espaces de fonctions à variations bornées viennent se positionner « finement » entre les espaces de Sobolev trop restreints (pas assez de fonctions, notamment pas les fonctions de type « saut ») et les espaces de Lebesgue trop vastes (trop de fonctions).
Elles sont fréquemment utilisées pour définir des solutions généralisées de problèmes de minimisation non linéaires impliquant des fonctionnelles, d’équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles, d’équations intégrales, en mathématiques, en physique et en ingénierie (mécanique, traitement d’images…).
Il est important de noter que les applications concrètes nécessitent des notions et outils mathématiques théoriques de plus en plus « sophistiqués » afin d’obtenir des solutions de plus en plus précises à des problèmes d’ingénierie.
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MOTS-CLÉS
espaces de Lebesgue | espaces de Sobolev | ensembles de Caccioppoli | opérateur trace | mesures de Radon
DOI (DIGITAL OBJECT IDENTIFIER)
RÉFÉRENCE BIBLIOGRAPHIQUE
Fonctions à variations bornées
Rappels liminaires sur les fonctions
Sources bibliographiques
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