Approximation des fonctions

Commençons par délimiter le cadre. Rappelons la définition : une fonction est une règle associant à tout élément d'un ensemble de définition un élément d'un ensemble image. En général, l'ensemble de définition est un sous-ensemble continu des nombres réels, donc infini et non dénombrable . La quantité d'information englobée dans le concept de fonction dépasse donc l'entendement. (Les fonctions élémentaires avec lesquelles on peut travailler sur papier ne forment qu'une part infime de l'ensemble des fonctions, les quelques exceptions confirmant la règle). Dans les problèmes pratiques d'analyse, la résolution d'une équation différentielle par exemple, l'inconnue à déterminer est ou dépend d'une fonction. L'information cherchée est donc indénombrable et la tâche impossible. Certes, plus on exige de différentiabilité, plus le nombre de possibilités décroît : par exemple, si l'on sait par la théorie que la solution est entière, et si l'on peut déterminer l'ensemble dénombrable de ses dérivées en un point, alors elle est connue partout grâce à sa série de Taylor ; la détermination de l'information est ainsi ramenée au développement d'un algorithme comportant une quantité dénombrable d'opérations. L'information demeure néanmoins infinie. La tâche principale de l'approximation est de remplacer l'information infinie contenue dans les fonctions par une information finie déterminée par le moins de degrés de liberté possible.

Dans cet article, nous traiterons de fonctions définies sur un intervalle, fini ou infini ; le problème de l'approximation des fonctions de plusieurs variables ne sera pas abordé. Par ailleurs, nous nous intéresserons à l'approximation d'un point de vue pratique, non à la théorie de l'approximation. Celle-ci étudie souvent des fonctions dont elle suppose uniquement la continuité ; or, d'une part, de telles fonctions peuvent être horribles (par exemple dérivables en aucun point), ce qui ne correspond guère à celles qui interviennent dans la pratique, et d'autre part la convergence est lente, ne profitant pas de la diminution des possibilités induite par l'existence de dérivées. Le lecteur trouvera une abondante littérature théorique, par exemple  pour une publication récente.

Nous nous limiterons aussi à des approximations infiniment dérivables, qui jouissent à nos yeux de moult avantages. D'une part, bien des fonctions intervenant en pratique le sont, à part peut-être aux extrémités de...