À la découverte des méthodes spectrales

Les méthodes spectrales, en tant que technique de discrétisation d’équations aux dérivées partielles, ont été introduites il y a près d’un demi-siècle dans une série de papiers par Steve Orszag (voir par exemple    ) ainsi que dans  . Elles ont connu un essor important grâce au livre de David Gottlieb et Steve Orszag  où les bases de leur généralisation à d’autres approximations que celles de fonctions périodiques par séries de Fourier ont été jetées. Elles sont caractérisées par les deux points suivants :

• l’approximation par des polynômes de haut degré ;

• l’utilisation de bases tensorisées de polynômes.

Un autre aspect de cette évolution est que l’emploi de l’algorithme de transformation de Fourier rapide, important il y a encore une quinzaine d’années, est passé depuis au second plan dû à l’augmentation de la puissance de calcul et l’amélioration des algorithmes de multiplication matricielle.

Comme beaucoup d’autres discrétisations à l’heure actuelle, les méthodes spectrales font appel à la formulation variationnelle du problème initial, et le problème discret est le plus souvent construit par méthode de Galerkin, de sorte que l’erreur entre la solution exacte et la solution approchée est...