Présentation
RÉSUMÉ
La mise en place du critère à minimiser, qui est à la base de la résolution de tout problème inverse, est introduite. Le cas de l’inversion de mesures à l’aide d’un modèle linéaire est traité. L’étude de son aspect éventuellement «mal-posé», l’estimateur des moindres carrés ordinaires et sa matrice de variance-covariance sont présentés. Les différentes techniques d’inversion de mesures au moyen d’un modèle non linéaire sont ensuite détaillées. Des exemples d’inversion en conduction stationnaire ou non, sont traités, en partant de simulations de mesure intégrant un bruit. L’explosion des estimations, en cas de mauvais conditionnement de la matrice de sensibilité, est mise en évidence.
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Lire l'articleAUTEUR(S)
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Denis MAILLET : Professeur émérite, Université de Lorraine (UL) - Laboratoire d’Énergétique et de Mécanique Théorique et Appliquée (LEMTA) – CNRS et UL
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Yvon JARNY : Professeur émérite, Université de Nantes - Laboratoire de Thermique et Énergie de Nantes (LTeN) – UMR CNRS 6607 Nantes
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Daniel PETIT : Professeur émérite, École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique (ISAE-ENSMA) - Institut P’ UPR CNRS 3346 Département Fluides, Thermique, Combustion – Poitiers
INTRODUCTION
Nous avons abordé dans l’article
Dans cet article, nous voyons comment on résout un problème inverse en se ramenant à un problème d’optimisation . Pour cela, une fonction objet (appelée également critère ), relative à l’écart entre modèle et mesure et dépendant des paramètres inconnus est introduite. L’estimation des paramètres consiste alors à adopter, pour solutions, les valeurs qui minimisent cette fonction. Notons que, dans la pratique, cette minimisation doit rester compatible avec le niveau du bruit de mesure des capteurs utilisés.
On analyse ici la
mise en forme mathématique de ce problème de minimisation
qui constitue la base de la démarche inverse. Les inversions de mesures proprement dites, prenant en compte les difficultés liées à la mesure réelle (rapport signal/bruit, mauvaises sensibilités...) sont traitées dans l’article
Par ailleurs, en s’appuyant sur les propriétés stochastiques du bruit, les écarts-types relatifs des paramètres estimés peuvent également être calculés. Les méthodes sont différentes suivant que le modèle est linéaire ou non par rapport aux paramètres à estimer.
Les symboles et notations de cet article sont donnés dans le tableau 1 de
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MOTS-CLÉS
Moindres carrés | Estimation | Nombre de conditionnement | Matrice de covariance
VERSIONS
Il existe d'autres versions de cet article :
- Version archivée 1 de janv. 2011 par Denis MAILLET, Yvon JARNY, Daniel PETIT
DOI (DIGITAL OBJECT IDENTIFIER)
Problèmes inverses en diffusion thermique - Formulation et résolution du problème des moindres carrés
Mise en place du critère à minimiser
Sources bibliographiques
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