Changements de mesures et représentation des martingales
Mouvement brownien et calcul stochastique

Les bases de la théorie des mathématiques financières consistent en deux résultats théoriques. Le premier donne une condition nécessaire et suffisante pour ne pas avoir d’opportunité d’arbitrage (le jeu est équilibré, on ne peut pas gagner strictement plus que sa mise avec une probabilité strictement positive), et cette condition se traduit par le fait qu’il existe une probabilité, équivalente à la probabilité initiale, sous laquelle les prix de tous les actifs (actions et obligations), en tant que processus indexés par le temps, sont des martingales. La seconde donne une condition nécessaire et suffisante pour avoir un « marché complet », signifiant que chaque gain d’option peut être obtenu par une stratégie adéquate, et cette condition se traduit par le fait que la probabilité équivalente ci-dessus, sous laquelle tous les prix des actifs sont des martingales, est unique.

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