Mathématiques pour l’électricien

1. Généralités

1.1 Notations

1.2 Problème des filtres

1.3 Méthodes symboliques

1.4 Transformation de Laplace

1.5 Premier cas particulier : transformée de Laplace usuelle (TL)

1.6 Deuxième cas particulier : transformée de Fourier (TF)

1.7 Transformée en Z(TZ)

2. Transformée de Laplace

2.1 Hypothèses

2.2 Notations

2.3 Premières propriétés

2.4 Propriété fondamentale

2.5 Impulsion de Dirac (δ)

2.6 Applications

3. Transformée de Fourier

3.1 Notations

3.2 Formalisme des transformées de Fourier

3.3 Théorie de la transformation de Fourier

3.4 Applications

4. Séries de Fourier

4.1 Séries trigonométriques

4.2 Série de Fourier (SF)

4.3 Propriétés

4.4 Calcul

4.5 Applications

5. Transformée en Z

5.1 Domaine d’holomorphie de la TZ

5.2 Exemples fondamentaux

5.3 Transformée d’une fonction échantillonnée

5.4 Propriétés

5.5 Transformées usuelles

5.6 Inversion de la TZ

5.7 Applications

Le calcul symbolique permet de déterminer, par le biais de transformations fonctionnelles, la réponse d’un système de transmission linéaire à un signal d’entrée par des voies purement algébriques évitant ainsi la résolution de systèmes différentiels ou d’équations aux dérivées partielles.

De ce point de vue, la transformation cissoïdale exposée au paragraphe « Nombres complexes » constitue une première approche permettant de déterminer le régime permanent d’un système linéaire soumis à une sollicitation sinusoïdale.

Avec la transformée de Laplace usuelle (TL), on dispose d’un outil permettant de déterminer régime permanent et régime transitoire pour une grande classe de signaux analogiques à l’entrée du système. On limite généralement son usage aux fonctions causales, c’est-à-dire nulles pour t ‹ 0.

La transformation de Fourier (TF) très proche dans sa définition de la TL, si elle se prête peu à l’analyse des signaux usuels, est un outil très puissant fournissant une représentation spectrale du signal et qui trouve tout son intérêt avec l’utilisation de signaux d’entrée nécessitant le recours à la théorie des distributions.

Avec l’apparition et le développement des techniques numériques, il a fallu adapter la TL au traitement des signaux discrets : c’est l’objet de la transformée en Z (TZ).

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