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RÉSUMÉ
La modélisation d’un phénomène physico-chimique consiste à établir un modèle mathématique pratique permettant de faire des prévisions. Pour ne faire que les expériences nécessaires à l’établissement de ce modèle, il convient de les organiser selon un plan d’expériences bien adapté au phénomène étudié. Après l’exposé des principes de base, le présent article décrit tous les plans qui couvrent les situations rencontrées par un expérimentateur : du plan le plus simple pour dégrossir un phénomène au plus compliqué permettant de faire des prévisions de grande qualité. Des exemples illustrent les principaux plans. Le présent article comprend également une bibliographie et des références de logiciels.
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Jacques GOUPY : Docteur ès sciences - Ingénieur-conseil Recherche Conseil et Formation
INTRODUCTION
Les plans d’expériences sont utiles à toutes les personnes qui entreprennent des recherches scientifiques ou des études industrielles. Ils sont applicables à toutes les disciplines et à toutes les industries à partir du moment où l’on recherche le lien qui existe entre une grandeur d’intérêt, y, et des variables, xj , qui peuvent modifier la valeur de y. Dès que l’on s’intéresse à la fonction :
il faut penser aux plans d’expériences. Ils servent, en effet, à optimiser l’organisation des essais expérimentaux pour obtenir le maximum de renseignements avec le minimum d’expériences et la meilleure précision possible sur les réponses calculées avec le modèle. Cet objectif est atteint si l’on suit les règles établies mathématiquement et si l’on adopte une démarche rigoureuse. Il existe de nombreux plans d’expériences adaptés à tous les cas rencontrés par un expérimentateur. Parmi tous ces plans, certains sont plus fréquemment utilisés que les autres. Nous indiquerons les principes fondamentaux de cette nouvelle science appelée Expérimentique et nous passerons en revue la majorité des plans qui, aujourd’hui, sont à la disposition des expérimentateurs. Ils pourront même, s’ils ne trouvent pas le plan qui convient à leur étude, en façonner un, original, qui répondra aux exigences de leur travail.
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- Version courante de sept. 2016 par Jacques GOUPY
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3. Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux 2k –q
Les plans factoriels fractionnaires sont des plans factoriels qui permettent d’étudier tous les facteurs, mais dont le nombre d’essais est réduit par rapport aux plans factoriels complets. Un plan factoriel fractionnaire a 2 fois moins ou 4 fois moins ou 2q fois moins d’essais que le factoriel complet correspondant.
À la fin d’un plan factoriel fractionnaire, on a un système de n équations à p inconnues avec p plus grand que n. On ne sait pas résoudre un tel système. Comme on ne peut pas augmenter le nombre d’équations, il faut diminuer le nombre d’inconnues. On y arrive en utilisant un artifice : on regroupe les inconnues et on résout le système pour ces groupes d’inconnues. On appelle ces groupes d’inconnues des contrastes et on dit que les inconnues sont aliasées dans les contrastes.
3.1 Notation des plans factoriels fractionnaires
Pour k facteurs prenant 2 niveaux le plan complet est noté 2k (§ 2.9).
Le plan fractionnaire, moitié du plan complet, a
ou 2k–1 essais.
On peut donner une signification à chaque caractère de cette notation :
-
le k signifie qu’il y a k facteurs étudiés ;
-
le 2 signifie que chaque facteur prend 2 niveaux ;
-
le 1 signifie que le nombre d’essais du plan a été divisé par 21.
Un plan 25 – 2 permet d’étudier cinq facteurs prenant chacun 2 niveaux en 8 essais. Le plan complet a été divisé par 22 = 4.
Un plan 2k – q permet d’étudier k facteurs prenant chacun 2 niveaux. Le plan complet a été divisé par 2q.
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GOUPY (J.) - Plans d’expériences. - Techniques de l’Ingénieur. Traité Analyse et Caractérisation, P 230, p. 1-24, 1997.
-
(2) - BOX (G.E.P), HUNTER (W.G.), HUNTER (J.S.) - Statistics for Experimenters. - John Wiley and Sons. New York. 453 pages, 1971.
-
(3) - PLACKETT (R.L.), BURMAN (J.P.) - The design of optimum multifactorial experiments. - Biometrika, n 33, 1946.
-
(4) - PILLET (M.) - Introduction aux plans d’expériences par la méthode Taguchi. - Les Éditions d’Organisation. Paris. 224 pages, 1992.
-
(5) - GOUPY (J.) - La Méthode des plans d’expériences. - Dunod. Paris. 303 pages, 1996.
-
(6) - KOSHAL (R.S.) - Application of the method of maximum likehood to the improvement of curves fitted by the method of moments. - Journal...
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