Équation de la chaleur : quel modèle utiliser ?

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2. Équation de la chaleur : quel modèle utiliser ?

2.1 Exemple 1 : mur semi-infini en régime transitoire

La figure 1 représente un massif semi-infini dans la direction x qui est excité sur sa face x = 0 par un flux de chaleur de densité u (W · m^–2) à l'instant initial t = 0. La température initiale T₀ (x ) est a priori non uniforme. Un capteur de température est implanté à une profondeur x_c dans le massif et délivre un signal y. À partir de l'instant initial, un champ de température unidimensionnel transitoire T (x, t ) se développe dans le massif.

Ce champ de température, que l'on appelle aussi ici « état » du système, est solution de l'équation de la chaleur, qui est ici une équation aux dérivées partielles, ainsi que de ses conditions limites et initiale associées. Ces équations sont appelées « équations d'état » de ce système thermique. Elles font intervenir la conductivité thermique λ (W · m^–1 · K^–1) du massif, ainsi que sa diffusivité thermique a = λ/ρc (m² · s^–1), où ρ et c sont respectivement sa masse volumique (kg · m^–3) et sa capacité thermique massique (J · kg^–1 · K^–1). Le signal théorique du capteur y_mo (réponse du modèle), suite à l'excitation u du massif, est alors donné par l'équation de sortie suivante :

Les équations d'état constituent ici une représentation interne du problème direct qui permet de calculer la réponse du système à partir de l'excitation, puis la réponse du capteur est particularisée par l'équation de sortie.

Ici, il est possible de résoudre analytiquement les équations d'état et de calculer directement la sortie car nous avons affaire à un système linéaire causal et invariant...

BIBLIOGRAPHIE

(1) - SHUMAKOV (N.V.) - A method for the experimental study of the process of heating a solid body. - Soviet Physics-Technical Physics (Translated by the American Institute of Physics), 2, p. 771 (1957).
(2) - BECK (J.V.), BLACKWELL (B.), ST-CLAIR (Jr.C.R.) - Inverse heat conduction – Ill – Posed problems. - Épuisé, mais des copies reliées spirales peuvent être distribuées directement par BECK (J.V.), Wiley, New York, 308 p. (1985).
(3) - BECK (J.V.), COLE (K.D.), HAJI-SHEIKH (A.), LITKOUHI (B.) - Heat conduction using green's functions. - Hemisphere, London (1992).
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(5) - MAILLET (D.), HOULBERT (A.S.), DIDIERJEAN (S.), LAMINE (A.S.), DEGIOVANNI (A.) - Nondestructive thermal evaluation of delaminations inside a laminate – Part I : Identification using the measurement of a thermal contrast – Part II : The experimental Laplace transforms method. - Composites Science and Technology. Elsevier Applied Science, vol. 47, no 2, p. 137-154 et 155-172 (1993).
...

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Sommaire
Sommaire détaillé

INTRODUCTION

1 - MODÈLES ET TECHNIQUES INVERSES EN THERMIQUE

2 - ÉQUATION DE LA CHALEUR : QUEL MODÈLE UTILISER ?

2.1 - Exemple 1 : mur semi-infini en régime transitoire
2.2 - Modèle, mesures, terminologie de l'inversion
2.3 - Différents types de problèmes inverses en diffusion de la chaleur
2.4 - Choix du modèle : structure, adéquation, complexité et parcimonie
2.5 - Exemple 2 : transfert dans une plaque homogène – multiplicité de la modélisation
2.6 - Systèmes entrée-sortie linéaires et excitations thermiques
2.7 - Cas particulier des milieux localement hétérogènes