Problèmes inverses en diffusion thermique - Formulation et résolution du problème des moindres carrés : Dossier complet | Techniques de l’Ingénieur

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Problèmes inverses en diffusion thermique - Modèles diffusifs, mesures, sensibilités

Article de référence | Réf : BE8266 v2

Problèmes inverses en diffusion thermique - Formulation et résolution du problème des moindres carrés

Auteur(s) : Denis MAILLET, Yvon JARNY, Daniel PETIT

Date de publication : 10 juil. 2018

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RÉSUMÉ

La mise en place du critère à minimiser, qui est à la base de la résolution de tout problème inverse, est introduite. Le cas de l’inversion de mesures à l’aide d’un modèle linéaire est traité. L’étude de son aspect éventuellement « mal-posé », l’estimateur des moindres carrés ordinaires et sa matrice de variance-covariance sont présentés. Les différentes techniques d’inversion de mesures au moyen d’un modèle non linéaire sont ensuite détaillées. Des exemples d’inversion en conduction stationnaire ou non, sont traités, en partant de simulations de mesure intégrant un bruit. L’explosion des estimations, en cas de mauvais conditionnement de la matrice de sensibilité, est mise en évidence.

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ABSTRACT

Inverse problems in heat diffusion . Construction and solution of the least squares problem

The construction of a criterion to be minimized, that is the basis of the solution of any inverse problem, is introduced. The case of inversion of measurements using a linear model is dealt with. The study of its possibly « ill-posed » character, the ordinary least square estimator and its variance-covariance matrix are detailed. The different techniques for inverting measurements using a non-linear model are detailed then. Examples of inversion, in steady or unsteady conduction, are presented, starting from simulated measurements that integrate some noise. Explosion of estimations, in the case of a bad conditionning of the sensitivity matrix is evidenced

Auteur(s)

Denis MAILLET : Professeur émérite, Université de Lorraine (UL) - Laboratoire d’Énergétique et de Mécanique Théorique et Appliquée (LEMTA) – CNRS et UL
Yvon JARNY : Professeur émérite, Université de Nantes - Laboratoire de Thermique et Énergie de Nantes (LTeN) – UMR CNRS 6607 Nantes
Daniel PETIT : Professeur émérite, École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique (ISAE-ENSMA) - Institut P’ UPR CNRS 3346 Département Fluides, Thermique, Combustion – Poitiers

INTRODUCTION

Nous avons abordé dans l’article [BE 8 265] le problème de la construction d’un modèle et celui de l’étude des sensibilités qui en découle, c’est-à-dire que nous avons mis en forme le problème direct.

Dans cet article, nous voyons comment on résout un problème inverse en se ramenant à un problème d’optimisation. Pour cela, une fonction objet (appelée également critère), relative à l’écart entre modèle et mesure et dépendant des paramètres inconnus est introduite. L’estimation des paramètres consiste alors à adopter, pour solutions, les valeurs qui minimisent cette fonction. Notons que, dans la pratique, cette minimisation doit rester compatible avec le niveau du bruit de mesure des capteurs utilisés.

On analyse ici la mise en forme mathématique de ce problème de minimisation qui constitue la base de la démarche inverse. Les inversions de mesures proprement dites, prenant en compte les difficultés liées à la mesure réelle (rapport signal/bruit, mauvaises sensibilités...) sont traitées dans l’article [BE 8 267].

Par ailleurs, en s’appuyant sur les propriétés stochastiques du bruit, les écarts-types relatifs des paramètres estimés peuvent également être calculés. Les méthodes sont différentes suivant que le modèle est linéaire ou non par rapport aux paramètres à estimer.

Les symboles et notations de cet article sont donnés dans le tableau 1 de [BE 8 265]. Notons que seule la version pdf de cet article fournit une notation complètement pertinente, la version électronique ne permettant pas de bien faire la distinction entre les différentes graisses des symboles.

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MOTS-CLÉS

Moindres carrés | Estimation | Nombre de conditionnement | Matrice de covariance

KEYWORDS

least squares | estimation | condition number | covariance matrix

VERSIONS

Il existe des versions antérieures de cet article :

Version archivée 1 de janv. 2011 par Denis MAILLET, Yvon JARNY, Daniel PETIT

PERMALIEN

https://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/energies-th4/transferts-thermiques-42214210/problemes-inverses-en-diffusion-thermique-be8266/

RÉFÉRENCE BIBLIOGRAPHIQUE

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BIBLIOGRAPHIE

(1) - HADAMARD (J.) - Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Differential Equations. - Yale University Press, New Haven (1923).
(2) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. - Tome 1 : Méthodes directes et Tome 2 : Méthodes itératives, Masson, Paris (1987).
(3) - BECK (J.V.), ARNOLD (K.V.) - Parameter estimation in engineering and science. - Épuisé, mais copies reliées spirales distribuées directement par BECK (J.V.), Wiley, Chichester, 501 p. (1977) jamesverebeck@comcast.net
(4) - MAILLET (D.), ANDRÉ (S.), BATSALE (J.C.), DEGIOVANNI (A.), MOYNE (C.) - Thermal quadrupoles – Solving the heat equation through integral transforms. - Wiley, Chichester, 370 p. (2000).
(5) - PRESS (W.H.), FLANNERY (B.P.), TEULKOLSKY (S.A.), WILLIAM (T.), VETTERLING (W.T.) - Numerical recipes – The art of scientific computing. - Cambridge University Press, New York , 992 p. (1992).
...

DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES

ANNEXES

1 Sites Internet

1 Sites Internet

Société française de thermique (voir les actes des écoles Metti 5-2011 et Metti 6-2015) http://www.sft.asso.fr

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Sommaire
Sommaire détaillé

INTRODUCTION

1 - MISE EN PLACE DU CRITÈRE À MINIMISER

2 - INVERSION DE MESURES AVEC UN MODÈLE LINÉAIRE

2.1 - Estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) linéaires
2.2 - Conditionnement de la matrice de sensibilité, problème inverse mal posé
2.3 - Propriétés stochastiques de l’estimateur des moindres carrés ordinaires
2.4 - Espérance de la somme des moindres carrés ordinaires
2.5 - Estimateur de Gauss-Markov et matrice de covariance

3 - INVERSION DE MESURES AVEC UN MODÈLE NON LINÉAIRE

3.1 - Principe des méthodes itératives
3.2 - Généralités sur les méthodes de descente
3.3 - Gradient, Hessien en fonction des coefficients de sensibilité
3.4 - Méthodes de Gauss-Newton et de Levenberg-Marquardt
3.5 - Méthodes des gradients conjugués et état adjoint
3.6 - Matrice de covariance de l’estimateur des moindres carrés ordinaires

4 - EXEMPLES DE PROBLÈMES INVERSES MAL POSÉS

4.1 - Cas simple de situation d’inversion : conduction 1D stationnaire dans un mur plan. Exemple 1
4.2 - Conduction 1D transitoire dans massif semi-infini. Exemple 2
4.3 - Conduction 1D transitoire dans un mur plan. Exemple 3
4.4 - Conduction 2D stationnaire. Exemple 4