Article

1 - FORME D'ÉTAT ET SCHÉMA-BLOC

2 - EXISTENCE DES SOLUTIONS ET PROBLÈME DE CAUCHY

3 - PREMIÈRE VARIATION ET ÉTUDE DE SENSIBILITÉ

4 - SYSTÈMES LINÉAIRES STATIONNAIRES

5 - SYSTÈMES LINÉAIRES INSTATIONNAIRES

6 - POINT D'ÉQUILIBRE ET STABILITÉ

7 - BIFURCATION DE POINT D'ÉQUILIBRE

  • 7.1 - Dynamique centrale
  • 7.2 - Bifurcation

8 - FONCTION DE LYAPOUNOV ET STABILISATION

  • 8.1 - Exemple fondamental
  • 8.2 - Fonction de Lyapounov et invariance de Lasalle
  • 8.3 - Contrôle Lyapounov sur un exemple

9 - RÉGULATEUR PI AVEC « ANTI-WINDUP »

10 - SYSTÈMES MULTI-ÉCHELLES ET CASCADE DE RÉGULATEURS

11 - SYSTÈMES OSCILLANTS ET PLL

  • 11.1 - Approximation séculaire et système moyen
  • 11.2 - Exemple classique d'oscillateur non linéaire
  • 11.3 - Boucle à verrouillage de phase (PLL)

12 - CONCLUSIONS

Article de référence | Réf : S7430 v1

Systèmes dynamiques et commande

Auteur(s) : Jean LÉVINE, Pierre ROUCHON

Relu et validé le 30 mai 2018

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RÉSUMÉ

Cet article tente de montrer comment la théorie des systèmes dynamiques fournit, d'une part, des outils très utiles à la synthèse de contrôleurs stabilisants (théorie des perturbations, commande hiérarchisée, synthèse Lyapounov) et, d'autre part, un guide théorique précieux pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non linéaires en boucle fermée (stabilité au sens de Lyapounov, bifurcations, théorie de Poincaré- Bendixon pour les systèmes plans, moyennisation). Le propos a été restreint à la stabilisation de points d'équilibre, mais des méthodes de même nature permettent de traiter la stabilisation autour d'autres types de trajectoires comme les orbites périodiques.

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ABSTRACT

Dynamic systems and control

This article attempts to show how the theory of dynamic systems provides, on one hand, some very useful tools for synthesizing stabilizing controllers (perturbation theory, hierarchical control, Lyapunov synthesis) and, on the other, a valuable theoretical guide for analyzing the stability and robustness of non-linear closed-loop systems (stability in the Lyapunov sense, bifurcations, Poincaré-Bendixson theorem for flat systems, averaging). The scope has been restricted to the stabilization of equilibrium points, but similar methods make it possible to treat the stabilization around other types of trajectories such as periodic orbits.

Auteur(s)

  • Jean LÉVINE : Mines Paris Tech, centre Automatique et Systèmes

  • Pierre ROUCHON : Mines Paris Tech, centre Automatique et Systèmes

INTRODUCTION

Dans ce dossier, nous allons tenter de montrer comment la théorie des systèmes dynamiques fournit, d'une part, des outils très utiles à la synthèse de contrôleurs stabilisants (théorie des perturbations, commande hiérarchisée, synthèse Lyapounov) et, d'autre part, un guide théorique précieux pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes non linéaires en boucle fermée (stabilité au sens de Lyapounov, bifurcations, théorie de Poincaré- Bendixon pour les systèmes plans, moyennisation).

Nous avons restreint le propos à la stabilisation de points d'équilibre, mais des méthodes de même nature permettent de traiter la stabilisation autour d'autres types de trajectoires comme les orbites périodiques.

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De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-s7430


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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ABRAHAM (R.H.), SHAW (C.D.) -   Dynamics – The Geometry of Behavior : I-IV.  -  Aerial Press, Santa Cruz, California (1981).

  • (2) - ABRAMOWITZ (M.), STEGUN (I.A.) -   Handbook of Mathematical Functions.  -  Dover, New York (1965).

  • (3) - ANGOT (A.) -   Compléments de mathématiques.  -  Éditions de la revue d'optique, Paris, third edition (1957).

  • (4) - ARNOLD (V.) -   Chapitres Supplémentaires de la Théorie des Équations Différentielles Ordinaires.  -  Mir Moscou (1980).

  • (5) - BERGÉ (P.), POMEAU (Y.), VIDAL (Ch.) -   L'ordre dans le chaos.  -  Hermann, Paris (1984).

  • (6) - FILIPPOV (A.F.) -   Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides.  -  Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London (1988).

  • ...

ANNEXES

  1. 1 Organisme

    1 Organisme

    Centre Automatique et système (CAS) de l'École des mines de Paris http://www.ensmp.fr

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