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RÉSUMÉ
L’analyse temporelle comprend les principales propriétés des systèmes sous leurs aspects temporels (comportements en fonction de la variable indépendante). Dans un premier temps, la notion de système est explicitée à travers quelques définitions et l’explication des systèmes linéaires SL et permanents SP est donnée. Par la suite, les réponses impulsionnelle et indicielle d’un SLP sont proposées, de même pour les représentations d’état et transmittance d’un SLP. Une étude de systèmes markoviens scalaires est longuement détaillée : système du premier ordre strictement propre, du premier ordre bipropre, du deuxième ordre, sans zéro, etc. Pour conclure, les systèmes à temps morts sont également abordés.
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Raymond HANUS : Directeur du Service d’Automatique et d’Analyse des Systèmes - Professeur à l’Université libre de Bruxelles – Université d’Europe
INTRODUCTION
Nous examinons sous le titre analyse temporelle les principales propriétés des systèmes sous leurs aspects temporels, c’est-à-dire leurs comportements en fonction de la variable indépendante appelée temps t. Cette présentation est centrée sur les systèmes markoviens continus, linéaires et permanents, et leurs extensions vers certains systèmes non markoviens, non linéaires ou évolutifs. Généralement, nous limitons notre étude aux systèmes scalaires, mais chaque fois que nous le pourrons, nous fournirons les correspondants matriciels, si ceux-ci ne se révèlent pas beaucoup plus compliqués que les premiers. Délibérément, nous restons silencieux quant aux systèmes échantillonnés. En effet, pour pouvoir dire quelque chose d’intelligent concernant le comportement temporel de tels systèmes, il y aurait lieu d’abord d’examiner en détail la théorie des systèmes discrets. Or, cette théorie nécessiterait à elle seule un dossier. D’où, notre parti pris de ne rien dire à ce sujet.
Enfin, nous avons essayé d’illustrer chaque notion mathématique par des applications pratiques prises dans le monde de l’ingénieur.
Cette analyse temporelle fait l’objet de deux dossiers : [S 7 150] Partie 1 et Partie 2.
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3. Représentation d’état et transmittance d’un SLP
3.1 Représentation d’état
Nous avons vu que sous l’action d’une sollicitation u (t, t 0) (cf. équation [1]), un système subit une modification de son état x (t, t 0) par l’intermédiaire d’une fonction d’évolution f, et produit une réponse y (t, t 0) donnée par la fonction de sortie g. Dans le cas d’un système linéaire, les fonctions f et g sont linéaires :
Les matrices A (t, τ ), B (t, τ ), C (t, τ ) et D (t, τ ) représentent respectivement l’influence de x (t – τ ) et u (t – τ ) sur
et y (t ) :
Lorsque le système est permanent, ces différentes matrices sont indépendantes du temps t :
Lorsque le système est causal, les bornes d’intégration se réduisent à l’intervalle [0, t ] :
ce que nous pouvons encore écrire en introduisant des fonctions causales de la forme A (t, 0) = A (t ) v (t ) et x (t, 0) = x (t...
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