Réponses impulsionnelle et indicielle d’un SLP
Analyse temporelle - Partie 1

S7150 v1 Article de référence

Réponses impulsionnelle et indicielle d’un SLP
Analyse temporelle - Partie 1

Auteur(s) : Raymond HANUS

Date de publication : 10 mars 2007 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Notion de système

1.1 - Définitions
1.2 - Systèmes linéaires SL

Tableau 1
1.3 - Systèmes permanents SP

2 - Réponses impulsionnelle et indicielle d’un SLP

2.1 - Réponse impulsionnelle
2.2 - Considérations pratiques
2.3 - Réponse indicielle

3 - Représentation d’état et transmittance d’un SLP

3.1 - Représentation d’état
3.2 - Transmittance d’un système markovien

4 - Étude de systèmes markoviens scalaires

4.1 - Système du premier ordre strictement propre
4.2 - Système du premier ordre bipropre
4.3 - Système du deuxième ordre, sans zéro
4.4 - Systèmes d’ordre n, avec m zéros

Tableau 2
4.5 - Formes particulières de systèmes markoviens

5 - Systèmes à temps morts

5.1 - Systèmes à temps morts purs (encore appelés systèmes à retards)
5.2 - Approximations rationnelles d’un temps mort pur

Présentation

RÉSUMÉ

L’analyse temporelle comprend les principales propriétés des systèmes sous leurs aspects temporels (comportements en fonction de la variable indépendante). Dans un premier temps, la notion de système est explicitée à travers quelques définitions et l’explication des systèmes linéaires SL et permanents SP est donnée. Par la suite, les réponses impulsionnelle et indicielle d’un SLP sont proposées, de même pour les représentations d’état et transmittance d’un SLP. Une étude de systèmes markoviens scalaires est longuement détaillée : système du premier ordre strictement propre, du premier ordre bipropre, du deuxième ordre, sans zéro, etc. Pour conclure, les systèmes à temps morts sont également abordés.

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Auteur(s)

Raymond HANUS : Directeur du Service d’Automatique et d’Analyse des Systèmes - Professeur à l’Université libre de Bruxelles – Université d’Europe

INTRODUCTION

Nous examinons sous le titre analyse temporelle les principales propriétés des systèmes sous leurs aspects temporels, c’est-à-dire leurs comportements en fonction de la variable indépendante appelée temps t. Cette présentation est centrée sur les systèmes markoviens continus, linéaires et permanents, et leurs extensions vers certains systèmes non markoviens, non linéaires ou évolutifs. Généralement, nous limitons notre étude aux systèmes scalaires, mais chaque fois que nous le pourrons, nous fournirons les correspondants matriciels, si ceux-ci ne se révèlent pas beaucoup plus compliqués que les premiers. Délibérément, nous restons silencieux quant aux systèmes échantillonnés. En effet, pour pouvoir dire quelque chose d’intelligent concernant le comportement temporel de tels systèmes, il y aurait lieu d’abord d’examiner en détail la théorie des systèmes discrets. Or, cette théorie nécessiterait à elle seule un dossier. D’où, notre parti pris de ne rien dire à ce sujet.

Enfin, nous avons essayé d’illustrer chaque notion mathématique par des applications pratiques prises dans le monde de l’ingénieur.

Cette analyse temporelle fait l’objet de deux dossiers : [S 7 150] Partie 1 et Partie 2.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-s7150

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Représentation d’état et transmittance d’un SLP

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2. Réponses impulsionnelle et indicielle d’un SLP

2.1 Réponse impulsionnelle

Nous appellerons réponse impulsionnelle f (t ) d’un système linéaire permanent la trajectoire forcée :

où δ (t ) représente l’impulsion de Dirac en t = 0.

Notons que pour tout système causal (obéissant à l’axiome de causalité des systèmes physiques, qui veut qu’aucun effet ne peut jamais précéder la cause) la réponse impulsionnelle est une fonction causale, c’est-à-dire :

Remarque : nous définissons une fonction causale comme étant identiquement nulle pour toute valeur négative de son argument.

Nous allons montrer que cette réponse impulsionnelle définit complètement un système linéaire permanent. Nous entendons par là qu’il suffit de connaître cette réponse impulsionnelle pour pouvoir prédire la réponse forcée du système à une sollicitation quelconque donnée.

Le système étant permanent, nous pouvons encore écrire [2] :

f (t – τ ) = S { δ (t – τ ), 0 }

Le système étant linéaire, nous pouvons multiplier à droite la grandeur d’entrée, comme la grandeur de sortie, par une grandeur ne dépendant pas de la variable indépendante t, par exemple u (τ ) :