Identification de modèles dans l’espace d’état

La détermination du modèle d’un procédé dynamique est un problème essentiel dans de nombreuses disciplines scientifiques telles que l’automatique, l’économie, la médecine, etc.

La disposition d’un tel modèle permet, entre autres choses, une meilleure compréhension du procédé étudié, une analyse des interactions et relations de causalité entre différentes variables et grandeurs relatives au procédé, l’observation et la prédiction de certaines de ces variables.

Génériquement, deux procédures se distinguent pour l’élaboration d’un modèle. La première procédure consiste à décomposer le procédé en sous-systèmes élémentaires puis, via l’adjonction de lois élémentaires de la physique, de la finance, du vivant, etc., à établir un modèle dynamique de l’ensemble du procédé. Ce type de modélisation est appelé « modélisation boîte blanche ». Elle a deux inconvénients majeurs. Tout d’abord, elle requiert une connaissance approfondie de ces lois élémentaires et du comportement interne du système. Ensuite, elle induit souvent la détermination d’un modèle complexe, à base de dérivées partielles ou de paramètres inconnus par exemple, difficile à exploiter.

La seconde procédure pour l’élaboration d’un modèle consiste à réaliser une ou plusieurs expériences sur le procédé et en extraire un modèle dynamique cohérent. Cette seconde procédure nécessite d’agir spécifiquement sur le procédé (les variables par l’intermédiaire desquelles il est possible d’agir sur le procédé sont appelées les « entrées ») et de réaliser des mesures descriptives du comportement du procédé (les variables par l’intermédiaire desquelles il est possible d’observer le comportement du procédé sont appelées les sorties). Ce type de modélisation est appelé modélisation boîte noire ou identification. C’est ce type de modélisation qui nous intéresse ici.

La littérature fait état de nombreuses techniques pour la mise en oeuvre d’une telle procédure. L’essor majeur de ces techniques se situe dans les années 1960 au cours desquelles deux voies ont connu des développements importants. La première voie correspond aux méthodes d’identification de modèle sous forme de fonction de transfert (équations différentielles pour le modèle à temps continu ou équations aux différences pour les modèles à temps discret). Ces méthodes permettent uniquement la représentation du comportement externe du procédé, c’est à dire uniquement une description du comportement entrée-sortie. Elles ont été très largement étudiées et la littérature fait état de quelques ouvrages de référence en la matière.

Dans cet article, nous nous intéressons à la seconde voie. Elle correspond aux méthodes permettant l’estimation d’un modèle sous forme de représentation d’état, structure de modèle caractérisant le fonctionnement interne du procédé. Ces méthodes ont été en retrait dans les années 1970 et 1980 pour ensuite connaître un regain d’intérêt à partir des années 1990 sous l’appellation de « méthodes des sous-espaces ». Cette appellation vient du fait que ces méthodes sont basées sur une reconstruction du sous-espace vectoriel caractérisant le fonctionnement interne du procédé. Ces méthodes ont depuis atteint un certain degré de maturité, cette maturité se traduit par de nombreuses applications probantes en milieu industriel et académique ainsi que par une intégration de ces méthodes au sein de différents outils de calcul numérique pour l’ingénieur.

L’objectif de cet article est de présenter le principe fondateur de ces méthodes des sous-espaces pour les modèles à temps discret ainsi que de présenter quelques variantes, notamment pour les modèles à temps continu et les modèles variant dans le temps.