Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Cet article présente un nouveau paradigme dans le domaine de l'ingénierie, basé sur la simulation : les techniques de réduction de modèles. Les problèmes qui constituent encore aujourd'hui de vrais verrous en matière de simulation y sont analysés. Cet article démontre également que dans de nombreux cas, derrière un volume colossal de données (résultant de la discrétisation) se cache en réalité très peu d'information. Ce constat permet de définir des approximations en base réduite au coeur des techniques dites de type POD. Les représentations séparées, qui sont au coeur de la PGD et qui permettent le calcul de solutions paramétriques sont ensuite utilisées dans la simulation, l'optimisation, l'analyse inverse et le contrôle en temps réel.
Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.
Lire l’articleABSTRACT
In this paper we address a new paradigm in the field of simulation-based engineering science: model order reduction. It begins with the presentation of some problems that still represent real simulation challenges. We then show that in many cases, behind the huge volumes of data resulting from their discretization, the real information involved is actually quite small. This information allows us to define reduced bases that can be used to speed up computer calculation. This procedure is at the heart of POD and derived strategies. In complement to these techniques, separate representations, at the heart of PGD-based strategies, lead to parametric solutions that can be used online to perform real-time simulation, optimization, inverse analysis and simulation-based control.
Auteur(s)
-
Francisco CHINESTA : Professeur des Universités - Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique - École Centrale de Nantes, Nantes, France
-
Elias CUETO : Professeur des Universités - Instituto de Investigación en Ingeniería de Aragón - Universidad de Zaragoza, Zaragoza, Espagne
INTRODUCTION
De nombreux problèmes en sciences et ingénierie ne peuvent à l’heure actuelle être résolus malgré les progrès accomplis récemment en terme de modélisation physique, d’analyse numérique et de capacité de calcul en raison de leur complexité numérique qui se révèle parfois tout simplement inimaginable. Dans cet article, nous reviendrons sur un certain nombre d’entre eux, en particulier :
-
les modèles impliquant plusieurs coordonnées où ceux définis dans des domaines dont au moins une des dimensions représentatives est beaucoup plus petite que les autres dimensions caractéristiques, tous les deux entraînant des discrétisations prohibitives ;
-
les problèmes transitoires dans lesquels le spectre des temps caractéristiques est trop vaste ;
-
les simulations en temps réel ;
-
et enfin les problèmes devant être résolus à plusieurs reprises comme ceux liés aux problèmes de contrôle, d’analyse paramétrique, d’analyse inverse, de quantification et propagation de l’incertitude ou encore d’optimisation, nécessitant la résolution d’un grand nombre de problèmes directs.
C’est dans ce types de scénarios que les techniques de simulation habituelles s’avèrent inefficaces, à moins d’être combinées avec une puissance de calcul adéquate souvent hors de portée pour les petites et moyennes entreprises.
Afin de démocratiser la simulation numérique, en s’affranchissant des difficultés citées précédemment et du recours aux « grands moyens », hors de portée pour la plus grande partie des utilisateurs potentiels, de nouvelles techniques de simulation ont émergées et se sont développées rapidement tant du point de vue fondamental qu’applicatif : ce sont les techniques dites de réduction de modèles qui sont passées en revue dans cet article.
Nous commencerons par une description sommaire de quelques verrous en matière de simulation numérique à l’heure actuelle. Puis nous nous attaquerons à une question d’importance capitale : la différence entre données et information. Nous montrerons qu’une quantité de données colossale résultant de la discrétisation d’un modèle peut ne cacher qu’une toute petite quantité d’information. Partant de ce constat, nous verrons alors qu’il est possible de définir des bases d’approximation réduites (en taille) mais contenant la quasi-totalité de l’information nécessaire pour reconstruire la solution recherchée. C’est l’idée fondamentale des techniques de réduction de modèles basées sur la POD (Proper Orthogonal Decomposition – décomposition orthogonale aux valeurs propres).
Nous montrerons que ces techniques basées sur la POD et ses variantes permettent d’accélérer les calculs sans demander trop de moyens mais que certains problèmes, tels que les modèles multidimensionnels et les domaines dégénérés, restent néanmoins hors de portée. De plus le contrôle de la qualité des solutions et l’enrichissement des bases réduites restent dans la plupart des cas encore un sujet très actif de recherche.
Nous verrons ensuite que l’emploi des représentations séparées permet d’aller encore plus loin : en créant « hors-ligne » une sorte d’abaque (solution paramétrique) qui peut être employé ensuite « en-ligne » pour parvenir à la simulation, optimisation, analyse inverse et contrôle… en temps-réel.
Nous conclurons l'article avec quelques exemples applicatifs du potentiel de ces abaques numériques.
L'expertise technique et scientifique de référence
KEYWORDS
model order reduction | proper orthogonal decomposition (POD) | metamodels
DOI (Digital Object Identifier)
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(202 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Présentation
Des données à l’information1. Verrous actuels en matière de simulation
Comme cela a déjà été mentionné dans l'introduction de nombreux problèmes issus des sciences ne peuvent être résolus en raison de la trop grande complexité numérique des modèles impliqués.
Nous pouvons distinguer différents scénarios qui constituent encore à présent des véritables verrous en matière de simulation numérique :
-
le premier concerne les modèles définis dans des espaces de haute dimensionnalité. On retrouve ces modèles en chimie quantique ou dans la description microstructurale des fluides complexes. Ces modèles souffrent la redoutable « malédiction de la dimensionnalité ». Si dans un espace de dimension N nous considérons M nœuds par dimension, le maillage hypothétique résultant fera intervenir M N nœuds. Si M ∼ 103 (une description assez grossière dans la pratique) et N ∼ 30 (un modèle relativement simple comme nous verrons par la suite), la complexité numérique atteint la valeur de 1090. Il faut rappeler que 1080 représente le nombre présumé de particules élémentaires dans l’univers. On rencontre la « malédiction de la dimensionnalité » dans d’autres domaines, comme celui de la chimie des très faibles concentrations, les mathématiques financières, etc. ;
-
le deuxième scénario concerne les modèles transitoires ordinaires dans le sens où ils ne sont pas nécessairement définis dans des espaces de grande dimension, mais dans lesquels le spectre des temps caractéristiques est trop vaste. Dans ce cas les techniques incrémentales ordinaires se heurtent à une difficulté majeure, celle de résoudre le modèle dans des intervalles de temps parfois longs, avec un pas de temps extrêmement court. C’est la situation rencontrée lors de la simulation du vieillissement des matériaux, dans les procédés utilisant les micro-ondes, les ultrasons, etc., ou encore dans le domaine de la dynamique rapide ;
-
des simulations en temps réel sont de plus en plus envisagées. On peut bien imaginer le contrôle, la surveillance et la reconfiguration de systèmes défaillants en temps réel. Le temps réel s’accompagne parfois de fortes restrictions, comme par exemple dans les simulateurs chirurgicaux où le retour de forces doit se faire avec une fréquence supérieure à 500 Hz pour reproduire...
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(202 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Verrous actuels en matière de simulation
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - EVERSON (R.), SIROVICH (L.) - Karhunen-Loeve procedure for gappy data. - Journal of the Optical Society of America, 12/8, 1657-1664 (1995).
-
(2) - BARRAULT (M.), MADAY (Y.), NGUYEN (N.C.), PATERA (A.T.) - An empirical interpolation method : application to efficient reduced-basis discretization of partial differential equations. - Comptes Rendus Mathematique, 339/9, 667-672 (2004).
-
(3) - RYCKELYNCK (D.) - A priori hyperreduction method : an adaptive approach. - Journal of Computational Physics, 202, 346-366 (2005).
-
(4) - WILLCOX (K.) - Unsteady flow sensing and estimation via the gappy proper orthogonal decomposition. - Computers and Fluids, 35, 208-226 (2006).
-
(5) - CHATURANTABUT (S.), SORENSEN (D.C.) - Nonlinear model reduction via discrete empirical interpolation. - SIAM J. Sci. Comput., 32, 2737-2764 (2010).
-
...
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(202 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
