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Article

1 - VERROUS ACTUELS EN MATIÈRE DE SIMULATION

2 - DES DONNÉES À L’INFORMATION

  • 2.1 - Discrétisation et données
  • 2.2 - Données et information. La décomposition orthogonale aux valeurs propres
  • 2.3 - Modèles réduits

3 - REPRÉSENTATIONS SÉPARÉES

  • 3.1 - Construction des représentations séparées
  • 3.2 - Modèles multidimensionnels
  • 3.3 - Modèles transitoires
  • 3.4 - Séparation de l’espace
  • 3.5 - Modèles paramétriques

4 - APPLICATIONS DES REPRÉSENTATIONS SÉPARÉES

  • 4.1 - Abaques numériques
  • 4.2 - Simulations avancées de modèles transitoires, multi-échelles et non linéaires
  • 4.3 - Modèles « physiquement » multidimensionnels
  • 4.4 - Problèmes définis dans des géométries dégénérées

5 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : AF1381 v1

Des données à l’information
Techniques de réduction de modèles - Vers une nouvelle génération d'abaques numériques

Auteur(s) : Francisco CHINESTA, Elias CUETO

Date de publication : 10 oct. 2015

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RÉSUMÉ

Cet article présente un nouveau paradigme dans le domaine de l'ingénierie, basé sur la simulation : les techniques de réduction de modèles. Les problèmes qui constituent encore aujourd'hui de vrais verrous en matière de simulation y sont analysés. Cet article démontre également que dans de nombreux cas, derrière un volume colossal de données (résultant de la discrétisation) se cache en réalité très peu d'information. Ce constat permet de définir des approximations en base réduite au coeur des techniques dites de type POD. Les représentations séparées, qui sont au coeur de la PGD et qui permettent le calcul de solutions paramétriques sont ensuite utilisées dans la simulation, l'optimisation, l'analyse inverse et le contrôle en temps réel.

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ABSTRACT

Model Order Reduction. Towards a New Generation of Computational Vademecums

In this paper we address a new paradigm in the field of simulation-based engineering science: model order reduction. It begins with the presentation of some problems that still represent real simulation challenges. We then show that in many cases, behind the huge volumes of data resulting from their discretization, the real information involved is actually quite small. This information allows us to define reduced bases that can be used to speed up computer calculation. This procedure is at the heart of POD and derived strategies. In complement to these techniques, separate representations, at the heart of PGD-based strategies, lead to parametric solutions that can be used online to perform real-time simulation, optimization, inverse analysis and simulation-based control.

Auteur(s)

  • Francisco CHINESTA : Professeur des Universités - Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique - École Centrale de Nantes, Nantes, France

  • Elias CUETO : Professeur des Universités - Instituto de Investigación en Ingeniería de Aragón - Universidad de Zaragoza, Zaragoza, Espagne

INTRODUCTION

De nombreux problèmes en sciences et ingénierie ne peuvent à l’heure actuelle être résolus malgré les progrès accomplis récemment en terme de modélisation physique, d’analyse numérique et de capacité de calcul en raison de leur complexité numérique qui se révèle parfois tout simplement inimaginable. Dans cet article, nous reviendrons sur un certain nombre d’entre eux, en particulier :

  • les modèles impliquant plusieurs coordonnées où ceux définis dans des domaines dont au moins une des dimensions représentatives est beaucoup plus petite que les autres dimensions caractéristiques, tous les deux entraînant des discrétisations prohibitives ;

  • les problèmes transitoires dans lesquels le spectre des temps caractéristiques est trop vaste ;

  • les simulations en temps réel ;

  • et enfin les problèmes devant être résolus à plusieurs reprises comme ceux liés aux problèmes de contrôle, d’analyse paramétrique, d’analyse inverse, de quantification et propagation de l’incertitude ou encore d’optimisation, nécessitant la résolution d’un grand nombre de problèmes directs.

C’est dans ce types de scénarios que les techniques de simulation habituelles s’avèrent inefficaces, à moins d’être combinées avec une puissance de calcul adéquate souvent hors de portée pour les petites et moyennes entreprises.

Afin de démocratiser la simulation numérique, en s’affranchissant des difficultés citées précédemment et du recours aux « grands moyens », hors de portée pour la plus grande partie des utilisateurs potentiels, de nouvelles techniques de simulation ont émergées et se sont développées rapidement tant du point de vue fondamental qu’applicatif : ce sont les techniques dites de réduction de modèles qui sont passées en revue dans cet article.

Nous commencerons par une description sommaire de quelques verrous en matière de simulation numérique à l’heure actuelle. Puis nous nous attaquerons à une question d’importance capitale : la différence entre données et information. Nous montrerons qu’une quantité de données colossale résultant de la discrétisation d’un modèle peut ne cacher qu’une toute petite quantité d’information. Partant de ce constat, nous verrons alors qu’il est possible de définir des bases d’approximation réduites (en taille) mais contenant la quasi-totalité de l’information nécessaire pour reconstruire la solution recherchée. C’est l’idée fondamentale des techniques de réduction de modèles basées sur la POD (Proper Orthogonal Decomposition – décomposition orthogonale aux valeurs propres).

Nous montrerons que ces techniques basées sur la POD et ses variantes permettent d’accélérer les calculs sans demander trop de moyens mais que certains problèmes, tels que les modèles multidimensionnels et les domaines dégénérés, restent néanmoins hors de portée. De plus le contrôle de la qualité des solutions et l’enrichissement des bases réduites restent dans la plupart des cas encore un sujet très actif de recherche.

Nous verrons ensuite que l’emploi des représentations séparées permet d’aller encore plus loin : en créant « hors-ligne » une sorte d’abaque (solution paramétrique) qui peut être employé ensuite « en-ligne » pour parvenir à la simulation, optimisation, analyse inverse et contrôle… en temps-réel.

Nous conclurons l'article avec quelques exemples applicatifs du potentiel de ces abaques numériques.

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KEYWORDS

model order reduction   |   proper orthogonal decomposition (POD)   |   metamodels

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af1381


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2. Des données à l’information

2.1 Discrétisation et données

Les modèles mathématiques visent à décrire une réalité physique souvent très complexe. Le modèle doit être fidèle à la réalité, et cette fidélité nécessite que les prédictions que le modèle fournit soient consistantes avec la réalité observée. Seulement dans ce cas le modèle peut remplacer la réalité et ainsi alléger les tâches de conception dans les divers domaines de l’ingénierie, où des expériences répétées s’avèrent très coûteuses à la fois en termes de budget et de temps de conception et de mise en œuvre.

Cependant, ces modèles font intervenir des équations très complexes (impliquant souvent des dérivées partielles), couplées, fortement non linéaires et définies dans des domaines de géométrie complexe. La solution de ces modèles permet d’obtenir la valeur d’une quantité d’intérêt u, pouvant être scalaire, vectorielle ou tensorielle (par exemple, la température, le déplacement, la vitesse, la contrainte, la déformation…) en chaque point x du domaine Ω, , où d est la dimension de l’espace (généralement 1D, 2D ou 3D, même si comme évoque précédemment, certains modèles sont définis dans des espaces hautement multidimensionnels d >> 1) et pour chaque instant de temps t dans l’intervalle d’intérêt I, notée u  (x, t).

Néanmoins, les modèles d’intérêt pratique peuvent rarement être résolus de façon analytique pour aboutir à la connaissance du champ d’intérêt en tout point et à tout instant, champ qui représenterait la solution exacte du modèle. En général, on doit se contenter de calculer la solution en un certain nombre M fini de points x i, i = 1,…, M, repartis dans le domaine spatial Ω et en P instants distincts tj , j = 1,…, P, de l’intervalle temporel considéré I.

Ce passage du continu spatio-temporel avec une infinité de points et instants dans...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - EVERSON (R.), SIROVICH (L.) -   Karhunen-Loeve procedure for gappy data.  -  Journal of the Optical Society of America, 12/8, 1657-1664 (1995).

  • (2) - BARRAULT (M.), MADAY (Y.), NGUYEN (N.C.), PATERA (A.T.) -   An empirical interpolation method : application to efficient reduced-basis discretization of partial differential equations.  -  Comptes Rendus Mathematique, 339/9, 667-672 (2004).

  • (3) - RYCKELYNCK (D.) -   A priori hyperreduction method : an adaptive approach.  -  Journal of Computational Physics, 202, 346-366 (2005).

  • (4) - WILLCOX (K.) -   Unsteady flow sensing and estimation via the gappy proper orthogonal decomposition.  -  Computers and Fluids, 35, 208-226 (2006).

  • (5) - CHATURANTABUT (S.), SORENSEN (D.C.) -   Nonlinear model reduction via discrete empirical interpolation.  -  SIAM J. Sci. Comput., 32, 2737-2764 (2010).

  • ...

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