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Auteur(s)
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Jean-Pierre BROSSARD : Professeur de mécanique à l’Institut des sciences appliquées (INSA) de Lyon
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Lire l’articleINTRODUCTION
La théorie des fonctions (maximales et minimales) fournit les bases de ce que l’on peut appeler l’optimisation statique. L’optimisation dynamique permet de traiter des problèmes d’extrémum beaucoup plus généraux.
Les problèmes d’optimisation dynamique trouvent leur source historiquement en mécanique générale. C’est pourquoi nous consacrons un article à ce problème. Il est basé sur le calcul des variations dont les fondateurs sont Euler et Lagrange. Les équations de Lagrange – lorsque le système est lagrangien – sont identiques aux formules d’Euler. Les premiers problèmes formulés sont dus à Newton (forme des corps donnant une traînée minimale) et Bernoulli (problème de la brachistochrone).
Un problème d’optimisation dynamique repose sur deux éléments fondamentaux :
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un modèle théorique représentant la nature du problème en mécanique. Ce modèle est fourni par le système d’équations différentielles et d’équations de liaisons ;
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une quantité dont on veut rendre la valeur maximale ou minimale. C’est ce que l’on appelle le critère d’optimisation ou l’indice de performance.
L’existence, depuis très longtemps, d’un modèle mathématique est la cause fondamentale de la naissance en mécanique de la théorie de l’optimisation. L’article qui lui est consacré a un double but : d’une part, donner une introduction aux problèmes d’optimisation et, d’autre part, donner un outil directement utilisable. Nous avons laissé de côté le choix des critères et les techniques particulières de l’optimisation.
Cet article fait partie d’un ensemble d’articles traitant de la Mécanique générale ; le lecteur devra donc se reporter assez souvent aux développements mathématiques étudiés précédemment dans la rubrique Dynamique générale et en particulier aux articles :
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Mécanique générale. Dynamique générale. Forme vectorielle ;
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Mécanique générale. Dynamique générale. Forme analytique,
de ce traité.
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12. Formulation d’Hamilton-Pontryagine
Les équations d’Euler du calcul des variations étant identiques aux équations de Lagrange de la mécanique analytique, il apparaît donc immédiatement que l’on peut leur substituer des équations analogues aux équations d’Hamilton. Rappelons que l’hamiltonien de la mécanique pour un système à n paramètres qi , et où l’on désigne les variables conjuguées par pi , est une fonction :
Les équations d’Hamilton sont alors, dans le cas général :
On obtient ainsi un système de deux équations du premier ordre qui est le système canonique.
12.1 Conditions d’application
La méthode telle que nous l’exposons s’applique au cas où les contraintes sont du type équations différentielles et où la fonctionnelle contient seulement les fonctions et non leurs dérivées.
Le problème se formule ainsi : trouver les fonctions yi (x ), uk (x ) qui rendent extrême la fonctionnelle [16], sachant que les contraintes sont du type de l’équation [17] :
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