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Article

1 - COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME DYNAMIQUE

2 - VECTEUR D’ÉTAT. VECTEUR DE COMMANDE

3 - ESPACE DE PHASE OU D’ÉTAT

4 - ESPACE TEMPS-ÉTAT

5 - DÉFINITIONS

6 - FORMULATION GÉNÉRALE D’UN PROBLÈME D’OPTIMISATION. CALCUL DES VARIATIONS

7 - FONCTIONNELLE

8 - PROBLÈMES DE LAGRANGE À LIMITES FIXES

9 - PROBLÈMES DE LAGRANGE À LIMITES VARIABLES

10 - EXTENSION DU PROBLÈME DE LAGRANGE

11 - TRANSFORMATION D’UN PROBLÈME DE BOLZA EN PROBLÈME DE LAGRANGE

12 - FORMULATION D’HAMILTON-PONTRYAGINE

  • 12.1 - Conditions d’application
  • 12.2 - Transformation de l’écriture des équations de Lagrange
  • 12.3 - Hamiltonien de Pontryagine

13 - PRINCIPE DE PONTRYAGINE

Article de référence | Réf : A1669 v1

Vecteur d’état. Vecteur de commande
Mécanique générale - Dynamique : optimisation

Auteur(s) : Jean-Pierre BROSSARD

Date de publication : 10 juil. 1997

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Auteur(s)

  • Jean-Pierre BROSSARD : Professeur de mécanique à l’Institut des sciences appliquées (INSA) de Lyon

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INTRODUCTION

La théorie des fonctions (maximales et minimales) fournit les bases de ce que l’on peut appeler l’optimisation statique. L’optimisation dynamique permet de traiter des problèmes d’extrémum beaucoup plus généraux.

Les problèmes d’optimisation dynamique trouvent leur source historiquement en mécanique générale. C’est pourquoi nous consacrons un article à ce problème. Il est basé sur le calcul des variations dont les fondateurs sont Euler et Lagrange. Les équations de Lagrange – lorsque le système est lagrangien – sont identiques aux formules d’Euler. Les premiers problèmes formulés sont dus à Newton (forme des corps donnant une traînée minimale) et Bernoulli (problème de la brachistochrone).

Un problème d’optimisation dynamique repose sur deux éléments fondamentaux :

  • un modèle théorique représentant la nature du problème en mécanique. Ce modèle est fourni par le système d’équations différentielles et d’équations de liaisons ;

  • une quantité dont on veut rendre la valeur maximale ou minimale. C’est ce que l’on appelle le critère d’optimisation ou l’indice de performance.

L’existence, depuis très longtemps, d’un modèle mathématique est la cause fondamentale de la naissance en mécanique de la théorie de l’optimisation. L’article qui lui est consacré a un double but : d’une part, donner une introduction aux problèmes d’optimisation et, d’autre part, donner un outil directement utilisable. Nous avons laissé de côté le choix des critères et les techniques particulières de l’optimisation.

Nota :

Cet article fait partie d’un ensemble d’articles traitant de la Mécanique générale ; le lecteur devra donc se reporter assez souvent aux développements mathématiques étudiés précédemment dans la rubrique Dynamique générale et en particulier aux articles :

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-a1669


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2. Vecteur d’état. Vecteur de commande

  • Les xi sont les variables d’état

    Le vecteur est le vecteur d’état. En pratique, les xi sont les paramètres qi et leurs dérivées ou les paramètres qi et les moments conjugués pi .

    Exemple

    Par exemple, pour le robot à swinguer :

    Le vocable variables d’état signifie qu’elles définissent l’état du système, c’est-à-dire, ce qui est fondamental en mécanique : la position et la vitesse.

  • Les ui sont les variables de contrôle ou de commande

    Ce sont classiquement les termes qui forment le second membre des équations différentielles. Le vecteur est appelé vecteur de commande.

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