Triangle de Pascal
Analyse combinatoire élémentaire

AF200 v1 Article de référence

Triangle de Pascal
Analyse combinatoire élémentaire

Auteur(s) : Louis COMTET

Date de publication : 10 avr. 2001 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Principes et premières applications

1.1 - Principes fondateurs de la Combinatoire
1.2 - Formule du crible ou principe d’inclusion et exclusion

Figure 2 - Crible pour deux parties Figure 3 - Crible pour trois parties
1.3 - Première application : formule de Legendre

Figure 5 - La fonction
1.4 - Deuxième application : nombre de diviseurs d’un entier

Figure 6 - Solutions de x . y = n Figure 7 - Interprétation de
1.5 - Troisième application : indicatrice d’Euler
1.6 - Graphes : vocabulaire

Figure 9 - Construction d’un arbre
1.7 - Quatrième application : formule de Cayley pour le nombre d’arbres étiquetés

2 - Combinaisons

2.1 - Combinaisons, arrangements, permutations : définitions

Figure 12 - Arrangement : exemple Figure 13 - Permutation : exemple Figure 14 - Combinaison : exemple
2.2 - Arrangements et permutations : leur nombre
2.3 - Combinaisons : leur nombre
2.4 - Combinaisons : les notations
2.5 - Formule du binôme (de Newton) ou identité binomiale
2.6 - Coefficients binomiaux et calcul des différences
2.7 - Formule de Stirling
2.8 - Coefficient binomial central

3 - Triangle de Pascal

3.1 - Récurrence triangulaire

Figure 21 - Triangle de Pascal n 7
3.2 - Relations verticales
3.3 - Relations horizontales
3.4 - Courbe limite de Laplace-Gauss

Figure 25 - Histogrammes
3.5 - Arithmétique binomiale
3.6 - Matrice de Pascal, inversion et puissances
3.7 - Problème des rencontres

Figure 27 - Une transposition Figure 28 - Deux « tricycles »
3.8 - Surjections et nombres de Stirling de seconde espèce
3.9 - Sommes des puissances impaires des entiers dans

Bibliographie & annexes

Présentation

Auteur(s)

Louis COMTET : Agrégé de Mathématiques - Docteur ès Sciences Mathématiques - Maître de conférences à l’Université de Paris-Sud

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INTRODUCTION

L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui, sur des ensembles finis, traite de problèmes de dénombrements (ou comptages), d’énumérations (ou listages) et d’estimations (encadrements et asymptotisme).

Cette vision, certes assez réductrice, est cependant très riche. Dans le foisonnement des sujets dits de nature combinatoire, on a dû, dans cet article, faire un choix, et exclure certaines théories voisines, et importantes, comme celle des graphes, par exemple. Les principales applications du sujet se présentent évidemment en calcul des probabilités et en statistique. Néanmoins, il ne faut pas dissimuler que bien des problèmes traditionnels de l’analyse, de l’algèbre et de la géométrie sont d’essence combinatoire, et évidemment, plus encore, ceux récemment posés par l’informatique.

Cette science de l’Analyse combinatoire est, dit-on en France, née avec les travaux de Pascal qui, confronté à des questions de probabilités dans les jeux, donna, sans doute l’un des premiers, les coefficients du développement du binôme (x + y)ⁿ au moyen de son triangle qu’il appelait alors « triangle mystique ». Mais bien d’autres savants du XVII^e siècle ont apporté leur pierre à l’édifice naissant. Citons, parmi eux, Leibniz, Newton, Wallis, Jacques Bernoulli et Moivre… Après cela, les XVIII^e et XIX^e siècles sont avares d’ouvrages consacrés à ce sujet, et cette science paraît alors un peu délaissée. Au début du XX^e siècle, l’œuvre de Netto (Allemagne), de MacMahon (Angleterre) et d’André et de Lucas (France) redonnent petit à petit force à cette discipline, qui s’épanouit enfin en toute plénitude à partir des années 1950.

L’intitulé même de cette spécialité a lui-même fluctué au cours du temps. De la classique « Analyse combinatoire » on est passé à la « Combinatoire », condensé plaisant et commode. Mais on dit aussi la « Combinatorique », de l’allemand Kombinatorik, titre du célèbre ouvrage de Netto, 1901, aussi utilisé en anglais sour la forme de Combinatorics…

Et comment appeler ceux et celles dont le métier est de chercher (et même parfois trouver !) en Combinatoire ? Assurément, la langue française voudrait qu’ils s’appelassent des « Combinatoriens »… N’a-t-on pas Histoire → Historien, Oratoire → Oratorien, Prétoire → Prétorien ? Mais certaines personnes autorisées continuent à préférer « Combinatorialistes », comme Mémoire → Mémorialiste, ou même, plus rarement, « Combinatoriciens », comme Informatique → Informaticien… À chacun de choisir !

Les méthodes des Combinatoriens, qui étaient originellement adaptées à la seule résolution de problèmes particuliers, tendent actuellement à utiliser des méthodes générales de résolution : fonctions génératrices, bijections, probabilisation, génération automatique d’identités, théorie des groupes, fonctions de la variable complexes, arithmétique, etc.

Enfin, depuis quelques années, la recherche de l’explicite dans beaucoup de domaines des mathématiques a achevé de donner force de loi à des calculs combinatoires réputés difficiles ou même inextricables autrefois, maintenant maîtrisés, et dont l’esthétique peut combler.

L’article « Analyse combinatoire » fait l’objet de plusieurs fascicules :

AF 200 Analyse combinatoire élémentaire

AF 201 Analyse combinatoire avancée

AF 202 Analyse combinatoire approfondie

Les sujets ne sont pas indépendants les uns des autres.

Le lecteur devra assez souvent se reporter aux autres fascicules.

Le lecteur pourra utilement se reporter aux références bibliographiques.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af200

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3. Triangle de Pascal

3.1 Récurrence triangulaire

Nous avons maintenant, grâce aux résultats précédents, une formule explicite (théorème 5) pour le nombre $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ de parties à k éléments d’un ensemble N lui-même à n éléments, ce que l’on note :

| N | = n .

On peut disposer ces nombres selon un tableau à double entrée, les lignes étant indexées par n ∊ $ℕ$ et les colonnes par k ∊ $ℕ$ . On sait par avance que :

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = 0 si k > n

ce qui conduit à un tableau triangulaire inférieur appelé triangle de Pascal (figure 21). Les bords du triangle valent :

(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 1 .

On a ajouté deux colonnes à l’extrême gauche pour y mettre la valeur des sommes horizontales (+), soit 2 ⁿ , et la...

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