Géométrie projective

Ce dossier a pour but de présenter les bases de la géométrie projective bi- et tridimensionnelle. Pour cette présentation, notre point de départ est la géométrie affine. La géométrie projective possède bien des avantages par rapport à la géométrie affine, sans perdre pour autant ses notions de bases qui peuvent facilement être récupérées, l'espace affine étant contenu dans l'espace projectif. L'avantage majeur de la géométrie projective est de permettre une formulation plus uniforme et homogène que dans la géométrie affine. Par exemple, dans le plan projectif, il n'existe pas de notion de parallélisme de droites, deux droites se coupant toujours en un point. Aussi, pour la représentation d'une transformation projective, il suffit d'une matrice. Elle ne nécessite pas de vecteur de translation comme son homologue affine. Nous verrons également que la géométrie projective englobe, outre la géométrie affine, de nombreuses géométries, comme par exemple la géométrie euclidienne et des géométries non euclidiennes, dites géométries de Cayley-Klein.

Nous traitons en particulier :

• les notions de repère, de coordonnées et de transformations projectifs ;

• la notion de birapport de quatre points alignés, l'analogue projectif du rapport affine de trois points alignés ;

• le principe de dualité mettant en correspondance les points et les droites du plan projectif (respectivement les points et les plans de l'espace projectif tridimensionnel) et permettant d'obtenir de nouveaux théorèmes à partir de théorèmes connus en les dualisant ;

• des théorèmes classiques, tels que les théorèmes de Desargues, Pappus et Pascal, ainsi que leurs correspondants duaux ;

• le programme d'Erlangen de Felix Klein identifiant « la géométrie » avec « la théorie des invariants d'un groupe de transformations » et le rôle de la géométrie projective pour les géométries euclidienne et non euclidiennes.

Les applications des ces notions sont nombreuses, notamment dans les domaines de la CAO (conception assistée par ordinateur), de l'informatique graphique et de la physique.

En CAO, le standard initial pour les courbes et surfaces était celui des représentations polynomiales, voir par exemple [8]. Grâce aux méthodes de la géométrie projective, les courbes et surfaces rationnelles ont aujourd'hui été intégrées dans la majorité des logiciels de CAO sous le terme de « NURBS » signifiant « Non-Uniform Rational B-Splines ». Pour une introduction aux NURBS et ses liens avec la géométrie projective voir [7]. De nombreuses articles de recherche actuelle dans le domaine de la CAO utilisent des résultats de la géométrie projective, par exemple :

• pour satisfaire des contraintes projectives comme l'incidence, la colinéarité, l'intersection, dans le cadre du dessin en perspective assisté par ordinateur [22] ;

• pour récupérer des quantités géométriques de coniques à partir de leur représentation rationnelle [1] ;

• dans le cadre de l'interpolation de points discrets dans un plan, la courbe d'interpolation peut être mieux contrôlée par des données tangentielles en les points donnés. L'article [2] présente une estimation de tangentes à partir de points discrets à l'aide du théorème de Pascal.

En informatique graphique, pour la représentation des transformations géométriques, on se sert habituellement des coordonnées homogènes provenant de la géométrie projective [10]. Récemment, voir par exemple [4], des travaux sur le calcul de visibilité exacte entre polygones font intervenir les coordonnées de Plücker, des coordonnées de droites utilisées en géométrie projective.

En physique, l'apport des géométries non euclidiennes est important. Par exemple, l'espace pseudo-euclidien de dimension quatre, appelé aussi espace de Lorentz ou espace de Minkowski, est à la base de la théorie de la relativité restreinte de A. Einstein, voir par exemple [11].