Introduction à la géométrie algébrique

Soit $\mathbb{K}$ un corps fixé (dans cet article, le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels, le corps $ℝ$ des nombres réels ou le corps $ℂ$ des nombres complexes).

On considère un système d'équations P_i    (X₁ ,…, X_n) = 0 où les P_i sont des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ et où les variables prennent leurs valeurs dans $\mathbb{K}$ (ou un corps contenant $\mathbb{K}$ ). Typiquement, les équations seront à coefficients entiers, et on considérera les solutions du système dans ${ℝ}^n$ ou ${ℂ}^n\mathrm{.}$

Un tel système définit un sous-ensemble $\mathrm{X}\subset {\mathbb{K}}^n$ appelé variété algébrique, et la géométrie algébrique consiste a comprendre les propriétés « géométriques » de X en utilisant les propriétés « algébriques » du système d'équations. Un exemple historique fondamental est l'étude des trajectoires des planètes et comètes qui sont en première approximation des courbes planes du second degré (i.e. des coniques : ellipses, paraboles ou hyperboles).

Bien que l'on s'intéresse en pratique (comme dans l'exemple ci-dessus) au cas réel, on constate que le rapport cherché entre algèbre et géométrie est beaucoup plus satisfaisant dans le cas du corps des nombres complexes (fondamentalement parce qu'un polynôme à une variable de degré n à coefficients réels ou complexes a exactement n racines complexes « distinctes ou confondues », alors que s'il est à coefficients réels (par exemple entiers), le nombre de ses racines réelles (distinctes ou confondues) peut être n'importe quel nombre entre 0 et n de même parité que n.

Les applications « pratiques » de la géométrie algébrique sont essentiellement de deux sortes :

1) la détermination (ou l'étude qualitative) des solutions de systèmes d'équations polynomiales à coefficients entiers ou rationnels ;

2) les propriétés des solutions de systèmes d'équations à coefficients dans un corps fini, souvent le corps a deux éléments $\mathbb{Z}\mathrm{/}2\mathrm{ }\mathbb{Z}\mathrm{.}$

Nous n'évoquerons pas ici le second cas, qui relève de l'informatique théorique, qui s'applique à la cryptographie ou à la théorie des codes correcteurs.

Le premier cas contient tous les problèmes de modélisation dans lesquels on a besoin de connaître des propriétés des solutions réelles de systèmes polynomiaux à coefficients disons rationnels.

Citons par exemple le problème du « déménageur de pianos » : on doit déplacer un « piano » dans un environnement contraint du plan ou de l'espace.

Le piano et l'environnement sont modélisés comme des ensembles semi-algébriques (donc solutions d'équations et d'inéquations polynomiales).

L'avantage de ces méthodes algébriques est que l'on peut, du moins en théorie, apporter des réponses exactes et sûres aux questions posées (par exemple le « piano » peut-il éviter les obstacles pour arriver dans un endroit voulu, et si oui quel déplacement doit-il effectuer ?). Leur défaut est que les algorithmes ont très vite une complexité rédhibitoire, inhérente à la nature des problèmes : il faut « payer très cher » pour avoir des certitudes, alors que des réponses simplement approximatives seraient beaucoup moins coûteuses et en général tout aussi efficaces.

Cet article a ainsi deux objectifs :

• exposer quelques notions fondamentales de géométrie algébrique, essentiellement dans le cas le plus simple des sous-ensembles algébriques du plan ;

• décrire quelque méthodes algorithmiques permettant de résoudre des questions a priori très simples de géométrie algébrique (comme par exemple soit $\mathrm{P}\in \mathbb{Z}\left[X\right]$ un polynôme donné. Combien a-t-il de racines réelles ? Où sont-elles « approximativement » placées ?).

Le contenu de cet article est le suivant. La section 1 expose des propriétés algébriques fondamentales de l'anneau des polynômes à une variable sur un corps $\mathbb{K}$ , et expose les algorithmes fondamentaux permettant « d'isoler » les racines réelles d'un polynôme $\mathrm{P}\in \mathbb{Z}\left[X\right]\mathrm{.}$

La section 2 expose les définitions et les propriétés de base des courbes algébriques dans le plan affine ${\mathbb{K}}^2\left(\mathbb{K}=ℝ\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{ou}\mathrm{\hspace{0.17em}}ℂ\right)\mathrm{.}$ La section 3 introduit les « points à l'infini » en définissant le plan projectif. Quelques résultats de base sont évoqués (en particulier le « théorème de Bézout » sur le corps $ℂ$ ). Cette section se termine sur la définition des « surfaces de Riemann », quelques remarques sur la topologie des courbes réelles projectives planes et des considérations algorithmiques liées aux courbes algébriques réelles.

Pour un lecteur voulant aller plus loin dans la géométrie algébrique, le livre  est fortement conseillé, ainsi que  pour le cas réel. Le livre contenant tous les résultats algorithmiques importants est .