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RÉSUMÉ
Cet article présente les équations différentielles générales, qui offrent le cadre le moins artificiel pour étudier les phénomènes complexes régis par des lois continues. Tout d'abord, le théorème de Cauchy-Lipschitz est expliqué. Il permet de cerner les résultats généraux que l’on peut espérer appliquer à une équation différentielle. Puis des méthodes qualitatives d'étude et notamment des méthodes numériques sont abordées.
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand
INTRODUCTION
Dans les applications, les équations différentielles qui s’introduisent le plus naturellement sont les équations différentielles autonomes, qui sont étudiées dans le cadre des systèmes dynamiques () et les équations différentielles linéaires (), éventuellement non autonomes, qui modélisent des systèmes entretenus simples. Les équations différentielles les plus générales, celles qui font l’objet du présent article, offrent néanmoins le cadre le moins artificiel pour étudier les phénomènes complexes régis par une loi continue. Leur étude permet en outre, sous des hypothèses plus fortes, d’obtenir les résultats théoriques nécessaires à l’analyse des équations autonomes. En outre, les techniques qualitatives qui leur sont dédiées s’appliquent, mutatis mutandis, aux équations différentielles autonomes et linéaires. L’usage de l’ordinateur peut être d’un grand secours, tant dans la résolution exacte et approchée de ces équations que dans leur étude qualitative. Le calcul exact (formel) des solutions de certaines classes d’équations différentielles fera l’objet d’un article séparé.
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2. Méthodes qualitatives d’étude
2.1 Méthodes numériques
Considérons le problème de Cauchy :
avec f de classe C1.
Fixons-nous un pas h > 0. Pour approcher x sur l’intervalle [t 0, t 0 + h], il est raisonnable de le remplacer par une fonction affine passant par (t 0, x 0) et de pente
, fonction dont l’expression est :
Si l’on veut continuer sur l’intervalle [t 0 + h, t 0 + 2h], on partira cette fois de la condition initiale (t 0 + h,
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