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RÉSUMÉ
Cet article présente d'abord les espaces fonctionnels non normables utilisés dans la théorie des distributions. Puis il s'intéresse à la transformation de Fourier, qui permet de résoudre de nombreuses problématiques d'équations aux dérivées partielles. Enfin il explique comment l'analyse de Fourier permet d'établir les théorèmes limites du calcul des probabilités en faisant apparaître le rôle central des variables gaussiennes.
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Gilles GODEFROY : Directeur de recherches au Centre national de la recherche scientifique
INTRODUCTION
Les opérateurs de dérivation ne se représentent pas de façon naturelle comme opérateurs continus sur des espaces normés. Le bon cadre pour le calcul différentiel est fourni par la théorie des distributions, qui impose l’utilisation d’espaces non normables mais permet de donner un sens à la « dérivée » de fonctions très générales.
La transformation de Fourier déploie toute sa puissance dans ce cadre élargi et permet de résoudre effectivement de nombreuses équations aux dérivées partielles, en donnant l’existence et la forme générale des solutions.
C’est encore l’analyse de Fourier qui procure le bon outil pour établir les théorèmes limites du calcul des probabilités, et faire apparaître le rôle central des variables gaussiennes aux interfaces entre le calcul sur les sphères de grande dimension, la distribution des grandeurs physiques ou biologiques et l’incertitude des mesures.
Pour aborder sans difficultés cette deuxième partie de l’analyse fonctionnelle, le lecteur consultera, dans ce traité :
-
- Topologie et mesure ;
-
- Analyse fonctionnelle. Partie 1.
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3. Calcul des probabilités
3.1 Espaces de probabilité et variables aléatoires
Il est le plus souvent impossible d’effectuer une mesure, une vérification ou une expérience exhaustive sur la totalité d’une collection d’objets (ou de personnes), et cela conduit à sélectionner des échantillons significatifs sur lesquels on travaille. Cette démarche naturelle pose immédiatement deux problèmes : comment obtenir l’échantillon ? De quelle taille doit-il être pour être en effet significatif ?
Pour éliminer si possible un choix arbitraire de l’expérimentateur, il convient de choisir les éléments de l’échantillon « au hasard ». Quant à la taille, elle doit permettre d’obtenir un résultat qui est « probablement » juste, à une « petite erreur » près.
Pour remplacer les expressions entre guillemets ci-dessus par des notions précises et des données quantitatives, nous avons besoin d’une modélisation mathématique. Celle-ci est fournie par la théorie des probabilités, développée par les écoles française (autour d’E. Borel et P. Lévy) et russe (présidée par A. Kolmogorov) au XXe siècle, après une « préhistoire » où brillent en particulier les noms de Pascal, de Laplace et de Gauss.
Nous allons voir que cette modélisation utilise largement les outils de l’analyse fonctionnelle. Les problèmes concrets qui motivent la théorie concernent bien sûr des ensembles finis ; mais il est souvent plus facile et plus efficace de « passer à la limite » et de remplacer le fini très grand par l’infini. On est alors amené à travailler dans les espaces de Banach Lp (
), introduits dans l’article [AF 99, § 5], et en particulier dans l’espace de Hilbert L2 (
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