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Article

1 - QUELQUES ÉLÉMENTS D'ESTIMATION

2 - MODÈLE DYNAMIQUE D'ÉTAT

3 - ESTIMATEUR DU PROCESSUS D'ÉTAT

4 - ESTIMATEUR POUR UN MODÈLE DYNAMIQUE D'ÉTAT NON LINÉAIRE OU NON GAUSSIEN

5 - PERFORMANCE

6 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : R1107 v1

Estimateur du processus d'état
Filtrage de Kalman

Auteur(s) : Yves DELIGNON

Date de publication : 10 déc. 2009

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RÉSUMÉ

Dans de nombreux domaines technologiques (télécommunication, télédétection, géolocalisation, contrôle industriel, séismologie), l'information utile n'est pas accessible directement car noyée dans le signal observé, cette problématique fait appel au développement de méthodes de l'information cachée. Le filtre de Kalman, basé sur un modèle d'état linéaire, met en équation l'évolution du signal utile, et sa relation au signal mesuré à partir d'une série de mesures incomplètes ou bruitées. Cet article introduit des éléments d'estimation statistique dans le cas où la variable ou le processus à estimer sont cachés. Est décrit le modèle dynamique d'état, formé de l'équation du processus d'état que le filtre de Kalman cherche à estimer et du processus de mesure. Un paragraphe est ensuite consacré à l'estimation séquentielle du processus caché, afin d’en déduire le filtre de Kalman.

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ABSTRACT

Kalman filtering

In many technological fields (telecommunication, remote sensing, geolocalisation, industrial control, seismology), the useful information is not directly accessible as it is buried in the observed signal; this issue requires the development of hidden information methods. The Kalman filter, based upon a linear state model puts into equation the evolution of the useful signal and its relationship to the signal measured from a series of incomplete or noisy measurements. This article introduces elements of statistical estimations where the variable or the process to be estimated are hidden. It describes the dynamic state model, composed of the equation of the state process that the Kalman filter tries to estimate and the measuring process. The sequential estimation of the hidden process in order to deduce the Kalman filter is then presented.

Auteur(s)

  • Yves DELIGNON : Professeur à l'institut TELECOM/TELECOM Lille 1

INTRODUCTION

Dans de nombreuses applications telles qu'en télécommunication, télédétection, géolocalisation, contrôle industriel, séismologie ou encore en ingénierie biomédicale, le signal qui porte l'information cachée n'est pas accessible directement et noyé dans le signal observé. Le développement de méthodes de l'information cachée est en conséquence un enjeu important pour les différentes applications et est à l'origine d'une littérature scientifique très riche en traitement du signal. Dans le cas d'un système de communication numérique par exemple, le récepteur reçoit une version du signal émis dégradée par du bruit et des interférences de différentes natures (interférences entre symboles, co-canaux ou canaux d'accès multiples). Le récepteur, dont le rôle est d'extraire du signal reçu les symboles émis, est constitué de traitements successifs dont l'ensemble forme un estimateur. Autre exemple, la poursuite d'un véhicule par un système radar est obtenue par l'estimation de la vitesse et de la position du véhicule à partir d'un signal radar.

La problématique qui se pose alors est de savoir au regard de l'observation et d'hypothèses sur le système, comment estimer au mieux le signal utile. Wiener fut le premier à proposer en 1949 une solution  dans le cas où les signaux mis en jeu sont stationnaires. Il développa un estimateur linéaire minimisant l'erreur quadratique moyenne obtenue en résolvant l'équation de Wiener-Hopf.

Kalman proposa, en 1960  , une alternative au filtre de Wiener qui s'affranchit de la stationnarité du processus observé et de celui caché. Le filtre de Kalman est basé sur un modèle d'état linéaire qui met en équation l'évolution du signal utile, et sa relation au signal mesuré ainsi que sur un critère d'optimisation qui exploite toutes les observations, de l'instant initial à l'instant courant. Le filtre obtenu par Kalman est récursif, sa réponse en chaque instant n'est en effet fonction que du signal observé en son entrée et de sa réponse à l'itération précédente (figure 1). Ainsi, le filtre de Kalman ne nécessite pas toutes les données passées pour produire une estimation à l'instant courant. Il ne nécessite donc pas de mise en mémoire et de retraitement des données. Cet avantage rend possible l'implémentation du filtre de Kalman pour des applications en temps réel.

Dans cet article, nous commençons par introduire des éléments d'estimation statistique dans le cas où la variable ou le processus à estimer sont cachés, nous rappellerons en particulier les critères du maximum a posteriori et de l'erreur quadratique moyenne minimale. Dans le paragraphe suivant, le modèle dynamique d'état est décrit, il est formé de l'équation du processus d'état que le filtre de Kalman cherche à estimer et du processus de mesure, seules données observables. Le paragraphe 4 est consacré à l'estimation séquentielle du processus caché. L'algorithme récursif de calcul de la loi a posteriori est ensuite dans le cas général puis dans le cas où le modèle dynamique d'état est linéaire et les bruits d'état et de mesure sont gaussiens. Nous en déduisons ensuite le filtre de Kalman. L'objectif du paragraphe 5 est l'estimation du processus d'état pour un modèle dynamique d'état non linéaire. Le filtre de Kalman étendu (EKF) est développé et illustré par un exemple. Enfin, le paragraphe 6 est consacré à l'étude des performances des estimateurs par la borne de Cramer Rao a posteriori. Une conclusion et des ouvertures sur d'autres familles d'estimateurs terminent cette synthèse sur le filtre de Kalman.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-r1107


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3. Estimateur du processus d'état

3.1 Algorithme récursif de calcul de la loi a posteriori

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3.1.1 Cas général

Le calcul de la loi a posteriori à l'itération n est obtenu par un algorithme récursif (figure 5) qui tire profit du modèle dynamique d'état. Il comporte deux étapes ; le calcul de la loi de l'état xn à partir des observations passées y0,…, yn-1 appelée étape de prédiction, puis l'étape de mise à jour qui consiste à déduire de la prédiction et de l'observation yn la loi a posteriori de xn.

( 11 )
( 12 )

Le calcul des probabilités de mise à jour et de prédiction dépende des lois des bruits d'état et de mesure ainsi que de la loi de l'état initial noté x–1. Ces lois conditionnent en effet respectivement la vraisemblance ainsi que la probabilité de transition

Démonstration :

Prédiction : à l'instant n − 1, on dispose des observations y0,..., yn−1.

Remarquons que est la distribution marginale du couple (xn, xn−1) conditionnelle à y0,..., yn−1...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - KALMAN (R.E.) -   *  -  . – A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, IEEE Transactions of the ASME – Journal of Basic Engineering, 82 (series D) : pp. 35-45 (1960).

  • (2) - KALMAN (R.E.), BUCY (R.S.) -   *  -  . – New results in Linear Filtering and Prediction Theory, Journal of Basic Engineering, 83, pp. 95-108 (1961).

  • (3) - WIENER (N.) -   Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series  -  MIT Press Classics Series, Cambridge (1949).

  • (4) - MEINHOLD (R.J.), SINGPURWALLA (N.D.) -   *  -  . – Understanding the Kalman Filter, The American statisticians, vol 37, n° 2 (may 1983).

  • (5) - KAILATH (T.), SAYED (A.H.), HASSIBI (B.) -   Linear estimation  -  Prentice Hall Information and System Sciences Series, Thomas Kailath series editor (2000).

  • (6) - HAYKIN (S.) -   Adaptive filter theory  -  Prentice...

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