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RÉSUMÉ
Cet article propose une introduction poussée sur les notions de gouvernabilité et d’observabilité des systèmes linéaires. Dans un premier temps, l’apparition des modes ingouvernables et/ou inobservables est étudié au travers des systèmes monoentrée-monosortie et multidimensionnels. Des détails sur la structure canonique de Kalman viennent compléter ces notions. Quelques réflexions sur la gouvernabilité forte et gouvernabilité faible sont ensuite proposées. Puis, les aspects logiciels sont abordés avec l'illustration de deux techniques, la construction structurée et la réduction modale, puis la réduction équilibrée.
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Lire l’articleAuteur(s)
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André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
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Jean-Marc BIANNIC : Maître de recherches à l’ONERA - Professeur vacataire à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Dans le dossier « Représentation d’un système linéaire », on avait introduit la représentation par modèle d’état, montré comment ce modèle pouvait être obtenu à partir d’une représentation initiale sous forme d’équation différentielle ou de fonction de transfert et comment on pouvait obtenir, pour un système complexe constitué de sous-systèmes interconnectés, un modèle d’état global conservant l’information de structure.
Pour des raisons de simplicité, les notions – pourtant fondamentales – de gouvernabilité et d’observabilité avaient été occultées et, de ce fait, on pouvait croire que les trois types de représentation : fonction de transfert, équation différentielle, modèle d’état, correspondaient à une même connaissance du système.
Il n’en est pas toujours ainsi et la représentation d’état d’un système peut être d’un ordre supérieur à celui de la fonction de transfert, voire de l’équation différentielle. Quelle est l’origine de l’existence de ces modes ? Quelles conséquences en résulte-t-il ? Ce sont deux questions fondamentales en théorie, mais aussi très importantes en pratique, auxquelles on répondra ici.
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- Version courante de mai 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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2. Apparition des modes ingouvernables et/ou inobservables
2.1 Cas des systèmes monoentrée-monosortie
Dans l’exemple d’introduction précédent, l’apparition d’un mode ingouvernable (ou inobservable) était liée à un phénomène de simplification entre pôle et zéro des sous-systèmes en cascade, comme on peut le voir en réécrivant la fonction de transfert du sous-système S1 sous la forme :
On voit également que la différence entre les deux cas a) et b) de la figure 1 (ingouvernabilité et inobservabilité) est liée à la façon dont se fait la simplification (zéro amont-pôle aval, ou pôle amont-zéro aval).
Eventuellement la simplification d’un pôle peut même être envisagée des deux façons comme indiqué figure 6.
Le fait qu’une partie d’un sous-système soit compensée par une partie d’un autre sous-système n’est pas aussi académique qu’il puisse paraître à première vue. En effet, fondamentalement, en automatique, on est amené à associer à un processus des compensateurs, conçus en fonction du processus, puisque le but est d’obtenir en boucle ouverte, puis en boucle fermée, certaines propriétés.
Un exemple est celui où le processus, de fonction de transfert
contient une constante de temps T importante, générant des difficultés pour assurer en boucle fermée un bon compromis rapidité-stabilité.
Une solution est de mettre en précascade sur le processus un réseau d’avance de phase C(p) = (1 + aτ t o p)(1 + τ t o p) et de régler aτ t o = T. Au niveau de la branche directe, on substitue ainsi à la constante de temps T une constante τ t...
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Apparition des modes ingouvernables et/ou inobservables
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BEMPORAD (A.), FERRARI-TRECATE (G.), MORARI (M.) - Observability and controllability of piecewise affine and hybrid systems. - IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, Issue 10 – pp. 1864-1876 (October 2000).
-
(2) - BIANNIC (J.-M.), FOSSARD (A.J.) - Représentation d’un systèmes linéaire. - Techniques de l’ingénieur S 7 130 Informatique Industrielle (2006).
-
(3) - CALLIER (F.M.) - Linear System Theory. - Ed. Springer (1991).
-
(4) - CORLESS (M.J.), FRAHZO (A.E.) - Linear Systems and Control. - Ed. Marcel Dekker (2003).
-
(5) - FOSSARD (A.J.) - Systèmes multientrées-multisorties. - Techniques de l’ingénieur R 7 220 Informatique Industrielle (1997).
-
(6) - FOSSARD (A.J.) - Représentation, observation et commande dans l’espace d’état....
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