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RÉSUMÉ
Cet article propose une introduction poussée sur les notions de gouvernabilité et d’observabilité des systèmes linéaires. Dans un premier temps, l’apparition des modes ingouvernables et/ou inobservables est étudié au travers des systèmes monoentrée-monosortie et multidimensionnels. Des détails sur la structure canonique de Kalman viennent compléter ces notions. Quelques réflexions sur la gouvernabilité forte et gouvernabilité faible sont ensuite proposées. Puis, les aspects logiciels sont abordés avec l'illustration de deux techniques, la construction structurée et la réduction modale, puis la réduction équilibrée.
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Lire l’articleAuteur(s)
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André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
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Jean-Marc BIANNIC : Maître de recherches à l’ONERA - Professeur vacataire à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Dans le dossier « Représentation d’un système linéaire », on avait introduit la représentation par modèle d’état, montré comment ce modèle pouvait être obtenu à partir d’une représentation initiale sous forme d’équation différentielle ou de fonction de transfert et comment on pouvait obtenir, pour un système complexe constitué de sous-systèmes interconnectés, un modèle d’état global conservant l’information de structure.
Pour des raisons de simplicité, les notions – pourtant fondamentales – de gouvernabilité et d’observabilité avaient été occultées et, de ce fait, on pouvait croire que les trois types de représentation : fonction de transfert, équation différentielle, modèle d’état, correspondaient à une même connaissance du système.
Il n’en est pas toujours ainsi et la représentation d’état d’un système peut être d’un ordre supérieur à celui de la fonction de transfert, voire de l’équation différentielle. Quelle est l’origine de l’existence de ces modes ? Quelles conséquences en résulte-t-il ? Ce sont deux questions fondamentales en théorie, mais aussi très importantes en pratique, auxquelles on répondra ici.
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VERSIONS
- Version courante de mai 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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6. Aspects logiciels
On propose dans ce paragraphe d’illustrer deux techniques de réduction de modèle dans l’espace d’état, visant à supprimer les états non gouvernables ou faiblement gouvernables d’une part, et les états non observables ou faiblement observables d’autre part.
La première technique envisagée repose sur l’élimination dans la base modale des états non gouvernables ou non observables. Il s’agit d’une réduction exacte. D’un point de vue entrée-sortie, le système complet et le système réduit sont équivalents.
La deuxième technique illustre la notion de Gramiens de gouvernabilité et d’observabilité introduite au paragraphe 5 et repose donc sur l’élimination des états faiblement gouvernables ou faiblement observables. Il s’agit cette fois d’une réduction approchée. Ainsi, toujours d’un point de vue entrée-sortie, le comportement du système réduit ne sera plus exactement similaire à celui du système complet.
L’ensemble des illustrations proposées repose sur l’utilisation du logiciel d’aide à la conception Matlab Ò . Nous ferons principalement appel aux routines d’une boîte à outils standard dédiée à l’automatique : Control System Toolbox . À...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BEMPORAD (A.), FERRARI-TRECATE (G.), MORARI (M.) - Observability and controllability of piecewise affine and hybrid systems. - IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, Issue 10 – pp. 1864-1876 (October 2000).
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(2) - BIANNIC (J.-M.), FOSSARD (A.J.) - Représentation d’un systèmes linéaire. - Techniques de l’ingénieur S 7 130 Informatique Industrielle (2006).
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(3) - CALLIER (F.M.) - Linear System Theory. - Ed. Springer (1991).
-
(4) - CORLESS (M.J.), FRAHZO (A.E.) - Linear Systems and Control. - Ed. Marcel Dekker (2003).
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(5) - FOSSARD (A.J.) - Systèmes multientrées-multisorties. - Techniques de l’ingénieur R 7 220 Informatique Industrielle (1997).
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(6) - FOSSARD (A.J.) - Représentation, observation et commande dans l’espace d’état....
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