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RÉSUMÉ
Cet article propose une introduction poussée sur les notions de gouvernabilité et d’observabilité des systèmes linéaires. Dans un premier temps, l’apparition des modes ingouvernables et/ou inobservables est étudié au travers des systèmes monoentrée-monosortie et multidimensionnels. Des détails sur la structure canonique de Kalman viennent compléter ces notions. Quelques réflexions sur la gouvernabilité forte et gouvernabilité faible sont ensuite proposées. Puis, les aspects logiciels sont abordés avec l'illustration de deux techniques, la construction structurée et la réduction modale, puis la réduction équilibrée.
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Lire l’articleAuteur(s)
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André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
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Jean-Marc BIANNIC : Maître de recherches à l’ONERA - Professeur vacataire à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Dans le dossier « Représentation d’un système linéaire », on avait introduit la représentation par modèle d’état, montré comment ce modèle pouvait être obtenu à partir d’une représentation initiale sous forme d’équation différentielle ou de fonction de transfert et comment on pouvait obtenir, pour un système complexe constitué de sous-systèmes interconnectés, un modèle d’état global conservant l’information de structure.
Pour des raisons de simplicité, les notions – pourtant fondamentales – de gouvernabilité et d’observabilité avaient été occultées et, de ce fait, on pouvait croire que les trois types de représentation : fonction de transfert, équation différentielle, modèle d’état, correspondaient à une même connaissance du système.
Il n’en est pas toujours ainsi et la représentation d’état d’un système peut être d’un ordre supérieur à celui de la fonction de transfert, voire de l’équation différentielle. Quelle est l’origine de l’existence de ces modes ? Quelles conséquences en résulte-t-il ? Ce sont deux questions fondamentales en théorie, mais aussi très importantes en pratique, auxquelles on répondra ici.
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- Version courante de mai 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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4. Gouvernabilité et observabilité
4.1 Gouvernabilité
Par définition, un état x i, associé à un mode λ i , est gouvernable, si, quelle que soit la condition initiale x i 0 imposée, il existe une commande u permettant de transférer cet état, x i 0 à une condition finale x if , arbitraire, et ce dans un temps fini. Un système est gouvernable si tous les états le sont.
On note que, dans le cas des systèmes linéaires, on peut toujours supposer que x if = 0 mais aussi que la notion de gouvernabilité implique seulement l’existence d’une commande. Dans la pratique, on aura sur la commande des contraintes d’amplitude, d’énergie, si bien que la gouvernabilité doit être considérée comme une condition nécessaire mais pas toujours suffisante pour commander en pratique un système.
HAUT DE PAGE
Pour tester la gouvernabilité d’un système donné par son équation d’état, le critère le plus général est le critère de Kalman, rappelé ici pour un modèle échantillonné mais qui a la même forme dans le cas continu.
Soit donc le système :
et supposons que l’on applique sur les intervalles de temps successifs les entrées U 0, U 1… Les états successifs atteints sont :
Le système étant gouvernable si, partant de X 0, il existe une séquence finie d’entrée...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BEMPORAD (A.), FERRARI-TRECATE (G.), MORARI (M.) - Observability and controllability of piecewise affine and hybrid systems. - IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, Issue 10 – pp. 1864-1876 (October 2000).
-
(2) - BIANNIC (J.-M.), FOSSARD (A.J.) - Représentation d’un systèmes linéaire. - Techniques de l’ingénieur S 7 130 Informatique Industrielle (2006).
-
(3) - CALLIER (F.M.) - Linear System Theory. - Ed. Springer (1991).
-
(4) - CORLESS (M.J.), FRAHZO (A.E.) - Linear Systems and Control. - Ed. Marcel Dekker (2003).
-
(5) - FOSSARD (A.J.) - Systèmes multientrées-multisorties. - Techniques de l’ingénieur R 7 220 Informatique Industrielle (1997).
-
(6) - FOSSARD (A.J.) - Représentation, observation et commande dans l’espace d’état....
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