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RÉSUMÉ
Cet article propose une introduction poussée sur les notions de gouvernabilité et d’observabilité des systèmes linéaires. Dans un premier temps, l’apparition des modes ingouvernables et/ou inobservables est étudié au travers des systèmes monoentrée-monosortie et multidimensionnels. Des détails sur la structure canonique de Kalman viennent compléter ces notions. Quelques réflexions sur la gouvernabilité forte et gouvernabilité faible sont ensuite proposées. Puis, les aspects logiciels sont abordés avec l'illustration de deux techniques, la construction structurée et la réduction modale, puis la réduction équilibrée.
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Lire l’articleAuteur(s)
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André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
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Jean-Marc BIANNIC : Maître de recherches à l’ONERA - Professeur vacataire à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Dans le dossier « Représentation d’un système linéaire », on avait introduit la représentation par modèle d’état, montré comment ce modèle pouvait être obtenu à partir d’une représentation initiale sous forme d’équation différentielle ou de fonction de transfert et comment on pouvait obtenir, pour un système complexe constitué de sous-systèmes interconnectés, un modèle d’état global conservant l’information de structure.
Pour des raisons de simplicité, les notions – pourtant fondamentales – de gouvernabilité et d’observabilité avaient été occultées et, de ce fait, on pouvait croire que les trois types de représentation : fonction de transfert, équation différentielle, modèle d’état, correspondaient à une même connaissance du système.
Il n’en est pas toujours ainsi et la représentation d’état d’un système peut être d’un ordre supérieur à celui de la fonction de transfert, voire de l’équation différentielle. Quelle est l’origine de l’existence de ces modes ? Quelles conséquences en résulte-t-il ? Ce sont deux questions fondamentales en théorie, mais aussi très importantes en pratique, auxquelles on répondra ici.
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VERSIONS
- Version courante de mai 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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7. Conclusion
Dans ce dossier volontairement simple, nous avons progressivement introduit puis développé les notions de gouvernabilité et d’observabilité des systèmes linéaires monoentrée-monosortie avec toutefois quelques extensions au cas des systèmes multientrées-multisorties.
Les notions présentées ont été mises en application à l’aide du logiciel MatlabÒ . Il faut noter toutefois que des alternatives (logiciels libres) telles que Octave ou Scilab existent.
Enfin, si nous nous sommes limités ici au strict cadre des systèmes linéaires, il faut savoir que les notions de gouvernabilité, et plus encore d’observabilité, peuvent se généraliser aux systèmes linéaires incertains , puis à certaines classes de systèmes non linéaires tels que les systèmes à sorties bornées ...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BEMPORAD (A.), FERRARI-TRECATE (G.), MORARI (M.) - Observability and controllability of piecewise affine and hybrid systems. - IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, Issue 10 – pp. 1864-1876 (October 2000).
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(2) - BIANNIC (J.-M.), FOSSARD (A.J.) - Représentation d’un systèmes linéaire. - Techniques de l’ingénieur S 7 130 Informatique Industrielle (2006).
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(3) - CALLIER (F.M.) - Linear System Theory. - Ed. Springer (1991).
-
(4) - CORLESS (M.J.), FRAHZO (A.E.) - Linear Systems and Control. - Ed. Marcel Dekker (2003).
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(5) - FOSSARD (A.J.) - Systèmes multientrées-multisorties. - Techniques de l’ingénieur R 7 220 Informatique Industrielle (1997).
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(6) - FOSSARD (A.J.) - Représentation, observation et commande dans l’espace d’état....
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