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La résolution par la méthode des éléments finis d’un problème physique formulé en termes d’équations aux dérivées partielles s’appuie sur une discrétisation spatiale, ou maillage, du domaine étudié. La convergence de cette méthode, ainsi que la qualité de la solution, dépendent fortement de la qualité en forme des éléments du maillage (la forme idéale étant celle d’un élément équilatéral pour un triangle).
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Quelques procédures d’optimisation3. Méthode de génération
Houman BOROUCHAKI est professeur à l’université de technologie de Troyes
Département Génie des systèmes mécaniques
Laboratoire des systèmes mécaniques et d’ingénierie simultanée (LASMIS) FRE CNRS 2719
Ce paragraphe propose une méthode permettant de construire un maillage unité d’un domaine Ω de
(défini à partir de son contour Γ) muni d’une métrique riemannienne M2 donnée. Elle consiste à mailler Ω de telle manière que la longueur des arêtes du maillage résultant soit égale à un. Rappelons que la métrique en un point P de Ω est définie par une matrice M2 (P) d’ordre 2, symétrique définie positive, donnée par :
avec a (P ) > 0 et a (P ) c (P ) – b2 (P ) > 0.
Si P est un sommet du maillage unité de Ω et PX une arête issue de P, alors la relation suivante doit être vérifiée :
La méthode de génération comprend deux étapes : la discrétisation en segments unité du contour Γ de Ω et la génération du maillage unité de Ω à partir de la discrétisation obtenue à l’étape précédente.
3.1 Discrétisation unité de , la frontière du domaine
On suppose que Γ, le contour du domaine, est défini à partir d’un modèle mathématique (analytique). Cela veut dire que le contour Γ est constitué des segments courbes :
...
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