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Systèmes linéaires non stationnaires

S7185 v1 Article de référence

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Systèmes linéaires non stationnaires

Auteur(s) : Frédéric ROTELLA

Date de publication : 10 mars 2003 | Read in English

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Sommaire
Médias

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1 - Présentation

1.1 - Modèles non stationnaires
1.2 - Linéarisation autour d'une trajectoire
1.3 - Application à la régulation climatique d'une serre
1.4 - Plan de l'article

2 - Quelques difficultés propres aux modèles non stationnaires

2.1 - Résolution
2.2 - Mise en série et non-commutativité
2.3 - Notion de pôles et de zéros

3 - Autre forme de l'équation différentielle

4 - Équation d'état

5 - Construction de formes canoniques

5.1 - Forme commandable
5.2 - Forme observable

6 - Retour d'état et observation

6.1 - Placement de pôles et retour d'état
6.2 - Construction d'observateurs

7 - Exemple

7.1 - Réalisation observable
7.2 - Construction d'un observateur
7.3 - Construction du régulateur

8 - Cas des systèmes discrets

8.1 - Équations de récurrence
8.2 - Équation d'état
8.3 - Formes canoniques
8.4 - Retour d'état
8.5 - Observateurs

9 - Application à une régulation de vitesse

10 - Annexe

Bibliographie & annexes

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Auteur(s)

Frédéric ROTELLA : Professeur des Universités - Enseignant d’Automatique - École nationale d’ingénieurs de Tarbes

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INTRODUCTION

Les systèmes non stationnaires sont décrits par un modèle dont les coefficients sont explicitement variables en fonction du temps. Considérer ces modèles de systèmes revêt une importance non négligeable en pratique. En effet, lorsque par exemple la dérive d'un composant est connue au cours du fonctionnement, ou lorsque le principe de fonctionnement implique des coefficients à variations périodiques [9], ou bien lorsque l'on cherche à linéariser un processus non linéaire, non pas autour d'un point de fonctionnement, mais le long d'une trajectoire, un modèle linéaire mais à coefficients variables dans le temps peut être suffisant pour décrire correctement le comportement observé. Notons d'autre part que le principe du filtrage de Kalman a été établi en utilisant avec profit une équation d'état dont les paramètres dépendaient du temps [5][6].

L'ensemble de ces modèles, dont les coefficients dépendent du temps, que l'on appelle parfois systèmes à paramètres temporellement variables ou systèmes instationnaires, permettent donc de représenter ou de décrire de nombreux comportements. Dans ce cas, il est intéressant de pouvoir disposer de méthodes permettant d'appliquer des techniques utilisées habituellement sur les systèmes linéaires à coefficients constants [8]. C'est ce que nous allons voir en nous cantonnant au cas des systèmes mono-entrée mono-sortie, les cas multi-entrées multi-sorties n'offrant pas de difficultés particulières.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-s7185

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Quelques difficultés propres aux modèles non stationnaires

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1. Présentation

Après une définition des modèles linéaires non stationnaires, qui vont constituer le cadre des méthodes de contrôle que nous allons présenter dans les parties suivantes, et afin de sensibiliser le lecteur à ces techniques, nous allons considérer en détail deux points. D'une part, l'apparition d'un modèle linéaire non stationnaire à partir de la linéarisation d'un modèle non linéaire autour d'une trajectoire, et d'autre part, l'exemple très simple de la régulation ther-mique d'une serre.

1.1 Modèles non stationnaires

Nous allons, dans un premier temps, considérer les systèmes linéaires à coefficients variables continus, c'est-à-dire décrits par une relation entre l'entrée $u (t)$ et la sortie $y (t)$ de la forme :

y (t) = \int_{- \infty}^{t} h (t, τ) u (τ) d (τ)

En dimension finie ils sont décrits, en notant D l'opérateur de dérivation, par une équation différentielle entrée-sortie d'ordre n :

D^{n} y (t) + \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} (t) ...

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