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Article

1 - GÉNÉRALITÉS

2 - CAS DES MODÈLES LINÉAIRES

3 - OBSERVATION À ENTRÉES INCONNUES

  • 3.1 - Estimation à entrée inconnue
  • 3.2 - Observation des entrées inconnues

4 - EXEMPLE : UN SATELLITE ARTIFICIEL

  • 4.1 - Modèle linéarisé autour d’un point de fonctionnement
  • 4.2 - Observateurs
  • 4.3 - Présence d’entrées inconnues

5 - MODÈLES LINÉAIRES NON STATIONNAIRES

  • 5.1 - Observateur de Darouach non stationnaire
  • 5.2 - Observateurs d’état
  • 5.3 - Observateur de Zhang
  • 5.4 - Détermination des matrices de gain
  • 5.5 - Exemple du convertisseur « boost »

6 - MODÈLES NON LINÉAIRES

  • 6.1 - Observateurs d’état
  • 6.2 - Observateurs de fonctions de l’état
  • 6.3 - Exemple d’un bioréacteur

7 - ANNEXES

  • 7.1 - Procédure de Ruffini-Horner
  • 7.2 - Construction d’une forme canonique observable

8 - OUTILS LOGICIELS

  • 8.1 - SCILAB
  • 8.2 - Modélisation
  • 8.3 - Analyse des propriétés
  • 8.4 - Placement de pôles
  • 8.5 - Traitement d’équations matricielles
  • 8.6 - Autres outils logiciels

9 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : S7188 v1

Cas des modèles linéaires
Observateurs pour systèmes dynamiques

Auteur(s) : Frédéric Rotella

Date de publication : 10 juil. 2019

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RÉSUMÉ

L’observation joue un rôle de premier plan dans le contrôle ou la supervision des systèmes dynamiques. En effet, dans les applications temps réel ou les systèmes d’ingénierie instrumentés, toutes les variables ne peuvent pas être mesurées. L’objectif des méthodes d’observation consiste à concevoir des algorithmes qui peuvent être mis en œuvre sur des dispositifs de contrôle pour estimer des variables ou des paramètres à partir de mesures de capteurs dans un cadre non bruité. En ce qui concerne le dernier point, la structure des observateurs peut être liée aux filtres Kalman. Le but de l’article est de fournir quelques lignes directrices pour concevoir plusieurs types d’observateurs depuis les observateurs complets pour estimer l’état entier du modèle dynamique du système jusqu’aux observateurs partiels où seulement une fonction spécifique de l’état est nécessaire. Les principaux sujets abordés traitent des modèles linéaires, mais certaines directions sont fournies pour le traitement des modèles non linéaires. Quelques exemples pratiques illustrent les méthodes de conception décrites. De plus, des exemples d’application des observateurs comme l’estimation d’entrées inconnues ou de perturbations sont indiqués.

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ABSTRACT

Observers are of primary importance for control or supervision of dynamic systems. Indeed, in real time applications or engineering instrumented systems all the variables cannot be measured. The objective of observation methods consists in designing algorithms that can be implemented on control devices to estimate variables or parameters from sensors measurements in a free of noise framework. With respect to the last point, observers structure can be related to Kalman filters. The aim of the article is to provide some guidelines to design several types of observers from complete observers to estimate the whole state of the dynamic model of the system to partial observers where only a specific function of the state is needed. The main topics of the text deal with linear models but some directions are indicated for the treatement of nonlinear models. Some practical  examples illustrate the described design methods. Also, observers applications as unknown inputs estimation are given.

Auteur(s)

  • Frédéric Rotella : Professeur des universités, Affiliation : École nationale d’ingénieurs de Tarbes

INTRODUCTION

Une des principales limites à l’amélioration de la surveillance et à l’optimisation de l’utilisation des micro-organismes tient sans doute à la difficulté de mesurer des variables chimiques ou biologiques dans un réacteur. En effet, il n’existe que très peu de capteurs dont le coût soit raisonnable et qui présentent des qualités de fiabilité et de maintenance requises pour un suivi en ligne. La mesure de certaines variables biologiques (biomasse, contenu cellulaire…) est parfois très difficile et peut s’avérer une opération longue, et délicate, même hors ligne. » Cette situation pratique, extraite de l’ouvrage « Automatique des bioprocédés » , illustre bien la problématique que cherche à résoudre la notion d’observation d’un système dynamique.

En effet, le problème est relativement simple puisqu’un système dynamique est un artefact d’ingénierie caractérisé par des variables qui évoluent au cours du temps et dont on cherche à piloter certaines. Bien sûr, ce pilotage impliquant l’instrumentation du process par des actionneurs et surtout des capteurs, il peut être parfois très utile ou pertinent de connaître l’évolution de variables qui ne sont pas directement accessibles à la mesure physique. L’objectif de l’observation consiste donc à construire un algorithme à implanter, d’où parfois la désignation de capteur logiciel, sur un organe de contrôle du processus permettant d’estimer ces variables sans avoir à utiliser un capteur physique supplémentaire. Outre un coût moindre, l’obtention de l’information fournie par ce capteur par une mise en œuvre logicielle sur ordinateur des traitements des mesures disponibles sur le process offre d’autres avantages comme une maintenance simplifiée ou un risque de défaillance moindre, sans compter non plus sur la dynamique supplémentaire introduite par le capteur physique. D’autres applications de l’utilisation d’un capteur logiciel sont également envisageables comme, sans être exhaustifs, le remplacement d’un capteur physique instrumentant déjà le processus mais coûteux, peu fiable ou présentant un rapport signal sur bruit faible, l’estimation d’entrées inconnues (défauts ou perturbations) pouvant influencer le comportement du processus, l’identification de paramètres ou enfin, la commande d’un système par retour d’état. Dans cette dernière application, qui est l’une des applications majeures de l’utilisation d’un observateur, plusieurs options peuvent être envisagées : soit on choisit de reconstruire par un observateur toutes les composantes de l’état qui ne sont pas mesurées, et dans certaines applications pratiques cela peut aller jusqu’à la centaine de variables ; soit on choisit d’observer directement la fonction des variables d’état envisagée pour la commande. Mais quelle que soit l’option retenue il n’est pas envisageable de mettre en service un ou plusieurs capteurs physiques qui réalisent la commande désirée. Enfin, une autre application des observateurs concerne la création d’une redondance relativement à un capteur physique qui permet ainsi d’accroître la sécurité d’une installation par la surveillance et le diagnostic sans en accroître le coût.

Cet article a pour objectif de faire le point sur les techniques envisageables de conception d’un observateur permettant d’estimer, à partir de mesures issues des capteurs physiques instrumentant un système et d’un modèle dynamique de ce système, des variables non accessibles à la mesure. Que ce soit dans un cadre à temps continu ou à temps discret, que ce soit à partir d’un modèle linéaire ou non linéaire, les variables à estimer doivent nécessairement être liées à un modèle d’état du système. En mettant l’accent sur la reconstruction de fonctions de variables d’état d’un système, on est conduit directement à la conception d’algorithmes d’observation à mettre en œuvre pour obtenir des capteurs logiciels qui ne demandent pas l’utilisation de capteurs physiques supplémentaires.

Des exemples pratiques et simples, tels un convertisseur de puissance, un bioréacteur ou un satellite artificiel, illustrent les méthodes de conception d’observateurs brièvement présentées.

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KEYWORDS

Variables estimation   |   dynamical systems   |   linear models   |   unknown inputs   |   state variables   |   state functionals   |   supervision   |   residuals

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-s7188


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2. Cas des modèles linéaires

2.1 Structures

Considérons le cas d’un modèle linéaire à coefficients constants décrit par l’équation d’état :

( 1 )

où pour tout t dans , l’état x(t) est dans , l’entrée u(t) est dans , et la mesure y(t) est dans . Les matrices qui apparaissent dans (1) sont constantes et de dimensions adaptées. Le problème de l’observation consiste ici à concevoir un système, appelé observateur de Luenberger, défini par l’équation d’état :

( 2 )

z(t) est de dimension q, dont la sortie permet d’estimer, à partir de la connaissance ou mesure de (u(t), y(t)) une fonction linéaire de l’état :

( 3 )

où...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ACKERMANN (J.) -   Der entwurf linearer regelungssysteme im zustandsraum.  -  Automatisierungstechnik, 20(1-12), 297-300 (1972).

  • (2) - ÅSTRÖM (K. J.), WITTENMARK (B.) -   Computer-controlled systems : theory and design.  -  Courier Corporation (2013).

  • (3) - BASS (R. W.), GURA (I.) -   High order system design via state-space considerations.  -  In Joint Automatic Control Conference, 3, 311-318 (1965).

  • (4) - BEN-ISRAEL (A.), GREVILLE (T. N.) -   Generalized inverses : theory and applications.  -  Springer Science & Business Media (2003).

  • (5) - BESANÇON (G.) -   Nonlinear observers and applications.  -  Springer (2007).

  • (6) - BORNARD (G.), CELLE-COUENNE (F.), GILLES (G.) -   Observabilité et observateurs....

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