Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Les différentes composantes de l’erreur d’estimation rencontrées lorsque l’on cherche à résoudre un problème d’inversion de mesures sont présentées. Quelques approches permettant d’évaluer et de maîtriser ces dernières sont passées en revue. Le cas particulier de l’estimation de fonction, préalablement paramétrisée, est étudié en introduisant et détaillant plusieurs techniques de régularisation permettant d’atteindre un compromis nécessaire entre dispersion et biais de l’estimation. L’étude des erreurs dues aux paramètres supposés connus et la présentation de la philosophie et de l’intérêt des méthodes bayésiennes terminent cet article.
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The different components of the estimation error, that are met when the solution of a problem of inversion of measurements is sought, are presented. A few approaches that allow their assessment and control are reviewed. The specific case of estimation of a function, that has be given a parameterized form, is studied through the introduction and detailed description of several regularization techniques that provide a necessary compromise between dispersion and bias of the estimation. The study of the errors caused by the parameters that are « supposed to be known », and the philosophy and interest of the Bayesian techniques, are found at the end of this article.
Auteur(s)
-
Denis MAILLET : Professeur émérite. Université de Lorraine (UL) - Laboratoire d’Énergétique et de Mécanique Théorique et Appliquée (LEMTA) – CNRS et UL
-
Yvon JARNY : Professeur émérite. Université de Nantes - Laboratoire de Thermique et énergie de Nantes (LTeN) – UMR CNRS 6607 Nantes
-
Daniel PETIT : Professeur émérite. École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique (ISAE-ENSMA) - Institut P’ UPR CNRS 3346 Département Fluides, Thermique, Combustion – Poitiers
INTRODUCTION
Ce dossier est le dernier d’une série de trois, intitulée « Problèmes inverses en diffusion thermique ». On a vu dans les dossiers [BE 8 265] « Modèles diffusifs, mesures, sensibilités » et [BE 8 266] « Formulation et résolution du problème des moindres carrés », que la simple application des méthodes numériques et analytiques d’inversion n’était pas une garantie d’obtention de bons résultats. Afin d’améliorer les résultats, il est nécessaire d’affiner ces méthodes pour analyser et résoudre ce type de problème. C’est ce qui va être entrepris ici, en se focalisant d’abord sur les six composantes de l’erreur d’estimation, puis en passant en revue les « Outils spécifiques de conduction inverse et de régularisation », avant de détailler ces derniers et de mettre en exergue quelques questions importantes que doit se poser, dès le début de sa démarche, l’inverseur de mesures en thermique.
Les symboles et notations de cet article sont repris du tableau 1 de l’article [BE 8 265]. Notons que seule la version pdf de cet article permet une notation complètement pertinente, la version électronique ne permettant pas de bien faire la distinction entre les différentes graisses des symboles.
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MOTS-CLÉS
Erreurs d'estimation Régularisation Décomposition en valeurs singulières Estimation de Bayes
KEYWORDS
estimation errors | regularization | singular value décomposition | bayesian estimation
VERSIONS
- Version archivée 1 de juil. 2011 par Denis MAILLET, Yvon JARNY, Daniel PETIT
DOI (Digital Object Identifier)
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Différentes composantes de l’erreur d’estimation et analyse des résidus5. L’essentiel de ce qu’il faut retenir
On a vu la difficulté de résoudre certains types de problèmes inverses lorsqu’ils sont mal posés. Soulignons cependant que beaucoup de problèmes inverses sont non pas mal posés mais plutôt mal conçus ou mal formulés. C’est pourquoi, nous synthétisons ici quelques questions importantes que doit se poser, dès le début de sa démarche, l’inverseur de mesures en thermique.
5.1 Quel est l’objectif ? Quel est le type du problème inverse à résoudre ?
-
Est-ce un problème d’estimation de paramètres (structurels par exemple) ?
-
Est-ce un problème d’estimation de fonction (de conditions limites par exemple) ?
-
Est-ce un problème de réduction de modèle ? Il s’agit alors d’utiliser un modèle détaillé de référence pour les simulations nécessaires.
-
Est-ce un problème d’identification expérimentale de modèle à partir de mesures d’entrées et de sorties d’un système ?
-
Est-ce un problème inverse d’une autre nature... ?
-
Est-ce que le problème est linéaire ?
La plupart des outils d’inversion sont communs aux nombreuses méthodes de résolution de ces différents types de problèmes. Nous nous sommes placés ici dans le cadre très générique de l’estimation de grandeurs. Ces dernières sont, au départ de la formulation du problème inverse soit des scalaires regroupés dans un vecteur paramètre, soit une fonction.
HAUT DE PAGE5.2 Quel modèle utiliser ? Comment simuler les mesures ?
Ce modèle sert à relier l’excitation (ou l’entrée) du système aux grandeurs observables (ou la sortie) afin de pouvoir comparer les réponses calculées du modèle aux mesures. La pertinence du modèle est indispensable pour une inversion de qualité. L’inversion avec un modèle erroné comportant un nombre de paramètres voisin mais inférieur au nombre de mesures peut très bien produire des résidus satisfaisants tout en fournissant des résultats aberrants.
Lorsque l’inverseur est confronté à un problème d’estimation de fonction,...
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L’essentiel de ce qu’il faut retenir
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - JARNY (Y.), MAILLET (D.) - Problèmes inverses et estimation de grandeurs en thermique. - Dans Métrologie Thermique et Techniques Inverses, Cours, Éditeur Presses Universitaires de Perpignan, ISBN 2‑908912-95-3, vol. 1, p. 1-50 (2001).
-
(2) - KAIPIO (J.), SOMERSALO (E.) - Statistical and computational inverse problems. - Applied Mathematical Science, Springer Verlag, New York, 339 p. (2005).
-
(3) - Inverse engineering handbook. - Edited by WOODBURY (K.), CRC Press, Boca Raton, 466 p. (2003).
-
(4) - VIDECOQ (E.), PETIT (D.) - Model reduction for the resolution of multidimensional inverse heat conduction problems. - Int. J. Heat and Mass Transfer, vol. 44, p. 1899-1911 (2001).
-
(5) - VIDECOQ (E.), PETIT (D) - Experimental modeling and estimation of time varying heat sources. - International Journal of Thermal Sciences, vol. 43, no 3, mars 2003.
-
...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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Librairie Matlab http://www.mathworks.com
Société française de thermique (voir les actes des écoles Metti 5-2011 et Metti 6-2015) http://www.sft.asso.fr
HAUT DE PAGE
Congrès français de thermique (annuels) http://www.sft.asso.fr
International Conferences on Inverse Problems in Engineering ICIPE (triennal, dernier congrès) http://icipe17.uwaterloo.ca
Inverse Problems in Design and Optimization IPDO (triennal) dernier congrès http://ipdo2013.congres-scientifique.com
Advanced Metti Schools SFT (dernière école thématique : Metti6-2015) http://www.sft.asso.fr
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