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Article

1 - ÉQUATIONS INTÉGRALES DE FREDHOLM DU SECOND TYPE

2 - ÉQUATIONS INTÉGRALES DE PREMIÈRE ESPÈCE

  • 2.1 - Problèmes inverses
  • 2.2 - Régularisation de l’équation intégrale
  • 2.3 - Équations intégrales aux limites de première espèce

3 - ÉQUATIONS INTÉGRALES DE VOLTERRA

4 - ÉQUATIONS INTÉGRALES SINGULIÈRES À NOYAU DE CAUCHY

  • 4.1 - Équations intégrales singulières de Cauchy, intervalle ouvert
  • 4.2 - Équations intégrales singulières de Cauchy, courbe fermée

5 - CONCLUSION

6 - GLOSSAIRE

Article de référence | Réf : AF1403 v1

Équations intégrales de Fredholm du second type
Analyse numérique des équations intégrales

Auteur(s) : Kendall ATKINSON

Date de publication : 10 nov. 2020

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RÉSUMÉ

L’analyse numérique des différents types d’équations intégrales est ici présentée en les illustrant par des exemples, comme les équations intégrales de Fredholm de première et de seconde espèce, les équations intégrales de Volterra et les équations intégrales singulières à noyau de Cauchy.

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ABSTRACT

Numerical Analysis of Integral Equations

The numerical analysis of the principal types of integral equations is presented with some illustrative examples. This includes Fredholm integral equations of the second kind and the …rst kind, Volterra integral equations, and Cauchy singular integral equations.

Auteur(s)

  • Kendall ATKINSON : Professeur émérite en mathématiques et informatique - Université de l’Iowa, Iowa City, Iowa, États-Unis

INTRODUCTION

Les problèmes liés aux équations intégrales se présentent sous plusieurs formes. Certains concernent des reformulations d’équations différentielles ordinaires ou partielles, comme, par exemple, les équations de la mécanique, de l’hydrodynamique, du transfert de chaleur, de géophysique, d’électrostatique et d’acoustique, ainsi que de diffusion électromagnétique. La théorie du potentiel est une illustration de ce sujet : on citera comme exemple celui de la détermination de la densité de charge sur une surface générant un champ électrostatique donné. Les autres équations intégrales sont des formulations directes d’un problème physique, comme par exemple l’équation de radiosité en infographie. L’équation de radiosité modélise l’éclairage de toutes les parties d’une surface, en présence de sources d’éclairage. Un autre domaine d’application qui a son importance concerne les équations intégrales qui modélisent la manière dont les populations changent avec le temps. Il couvre les dynamiques de croissance de population et de propagation des maladies.

Le présent article abordera les méthodes numériques permettant de résoudre certaines des formes les plus importantes d’équations intégrales de Fredholm de première et de seconde espèce, d’équations intégrales de Volterra, et d’équations intégrales singulières à noyau de Cauchy. D’autres équations intégrales, dont le nombre d’applications était inférieur, ont été exclues, comme, par exemple, les équations de Wiener-Hopf et les équations intégrales d’Abel. En outre, la plupart des équations intégrales non linéaires ont été omises. De nombreux ouvrages sont consacrés à la théorie et l’application des équations intégrales ; voir par exemple .

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KEYWORDS

Volterra intergral equations   |   Fredholm integral equations   |   Cauchy singular integral equations   |   integral equations of the first kind

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af1403


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1. Équations intégrales de Fredholm du second type

Une équation intégrale linéaire de Fredholm de seconde espèce se présente sous la forme

( 1 )

λ ≠ 0. La région Ω est un ensemble fermé dans l’espace d-dimensionnel pour ≥ 1, peut-être un ensemble solide, une surface, ou d’autres sous-ensembles ; de manière générale, Ω est borné. La fonction x est inconnue, les fonctions restantes et les paramètres sont donnés. Par commodité de notation, l’équation (1) peut s’écrire symboliquement , où désigne l’opérateur intégral. Tout au long de l’article, et sauf indication contraire, on considère que (1) a une solution unique.

La « fonction noyau » K(s, t) doit remplir certaines conditions. Elle est souvent une fonction continue de s et de t ; mais des fonctions singulières telles que celles de la forme

L étant une fonction bornée continue par morceaux, sont également autorisées, du moment que la valeur de α reste relativement faible. Par exemple, si Ω est une surface bidimensionnelle dans , alors α doit être inférieur à 2. Pour une étude approfondie de la résolution...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ATKINSON, (K.) -   An Introduction to Numerical Analysis,  -  2nd edition, John Wiley (1989).

  • (2) - ATKINSON, (K.) -   Convergence rates for approximate eigenvalues of compact integral operators,  -  SIAM J. Num. Anal. 12, pp. 213-222 (1975).

  • (3) - ATKINSON (K.) -   The numerical solution of boundary integral equations,  -  in The State of the Art in Numerical Analysis, ed. by I. Duff and G. Watson, Clarendon Press, Oxford, pp. 223-259 (1997).

  • (4) - ATKINSON (K.) -   The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind,  -  Cambridge University Press (1997).

  • (5) - ATKINSON (K.), HAN (W.) -   Theoretical Numerical Analysis,  -  3rd ed., Springer-Verlag (2009).

  • (6) - ATKINSON (K.), HAN (W.), STEWART (D.) -   The Numerical Solution of Ordinary Differential...

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