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RÉSUMÉ
L’automatique est un terme qui regroupe l'ensemble des techniques permettant d'agir sur un système dynamique de dimension finie. Ces systèmes sont, dans le majorité des cas, gouvernés par des équations différentielles. Cet article traite de la commande ou du contrôle de systèmes gouvernés, cette fois-ci, par des équations aux dérivées partielles, et donc déclarés de dimension infinie. Le système distribué est un état dans lequel se produisent les phénomènes modélisés par l'équation aux dérivées. Dans ce cadre, l’étude du contrôle de systèmes stationnaires (indépendants du temps) est tout à fait pertinente, cette approche est d’ailleurs retenue pour aborder le sujet.
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Jean-Pierre YVON : Professeur à l'Institut national des sciences appliquées (INSA) de Rennes
INTRODUCTION
Ce qu'on appelle classiquement l'automatique est un terme qui regroupe l'ensemble des techniques permettant d'agir sur un système dynamique pour lequel x (t), état du système à l'instant t, est un vecteur de
, donc de dimension finie. Ces systèmes sont, dans le majorité des cas, gouvernés par des équations différentielles, linéaires ou non (cf. ) dans cette base documentaire (réf. ).
L'objet de cet article est de traiter de la commande ou du contrôle (les termes sont équivalents) de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles. La différence essentielle réside dans le fait que, à chaque instant t, l'état du système, noté maintenant y(t), est une fonction d'une variable d'espace x (on le notera donc également y(x, t)) ; on peut donc considérer y(t) comme un élément d'un espace fonctionnel qui n'est pas de dimension finie, d'où la terminologie de système dynamique en dimension infinie. Le terme de système distribué, qui semble s'être imposé dans la littérature (« distributed system » en anglais), provient du fait que y(t) est un état « distribué » sur le domaine Ω de l'espace
, n = 1, 2, 3, dans lequel se produisent les phénomènes modélisés par l'équation aux dérivées partielles. Il y a donc des liens très étroits avec l'automatique qui seront largement soulignés dans la présentation des problèmes et des méthodes.
Une particularité de ce sujet est que l'étude du contrôle de systèmes stationnaires (indépendants du temps) est tout à fait pertinente et c'est d'ailleurs par ce type de situations que l'on peut aborder le sujet.
Enfin il y a lieu d'indiquer que de nombreux problèmes qui, a priori, ne se posent pas en termes de problème de commande optimale, s'y ramènent de manière naturelle : c'est le cas, par exemple, des problèmes d'identification de paramètres et d'optimisation de formes.
Le lecteur trouvera dans l'annexe, au paragraphe 8, de brefs rappels et en des indications bibliographiques pour tout ce qui concerne les équations aux dérivées partielles intervenant dans cet article.
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2. Existence et unicité du contrôle optimal
2.1 Résultat général
La situation la plus simple correspond au cas où l’espace des contrôles
est un espace de Hilbert réel, la fonction coût J étant définie sur
(ou éventuellement une partie de
). Un théorème général d’existence et d’unicité d’un contrôle optimal est le suivant :
Théorème 1. Soit
une partie convexe fermée de
. On suppose que J est convexe, continue sur
et que :
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BARATCHART (L.), BERNARD (P.) - Automatique et systèmes - [A 1 370] (1992).
-
(2) - DOISY (M.) - Distributions. Applications - [AF 146] (2006).
-
(3) - DEBEAUMARCHÉ (G.) - Introduction aux équations aux dérivées partielles linéaires - [AF 162] (1999).
-
(4) - SPITERI (P.) - Approche variationnelle pour la méthode des éléments finis - [AF 503] (2002).
-
(5) - SPITERI (P.) - Présentation générale de la méthode des éléments finis - [AF 505] (2002).
-
(6) - CHAVANT (G.) - Approximation des équations aux dérivées partielles - [A 550] (1993).
-
...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Systèmes dynamiques et commande
-
Méthode des différences finies pour les EDP stationnaires
ANNEXES
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J. P. Yvon (auteur de ce texte) :
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