Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
L’automatique est un terme qui regroupe l'ensemble des techniques permettant d'agir sur un système dynamique de dimension finie. Ces systèmes sont, dans le majorité des cas, gouvernés par des équations différentielles. Cet article traite de la commande ou du contrôle de systèmes gouvernés, cette fois-ci, par des équations aux dérivées partielles, et donc déclarés de dimension infinie. Le système distribué est un état dans lequel se produisent les phénomènes modélisés par l'équation aux dérivées. Dans ce cadre, l’étude du contrôle de systèmes stationnaires (indépendants du temps) est tout à fait pertinente, cette approche est d’ailleurs retenue pour aborder le sujet.
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Automatic is a term that regroups the techniques which allow to act on a dynamic system with finite dimensions. Most of these systems are ruled by differential equations. This article deals with the command or control of systems ruled, this time, by partial differential equations and thus declared of finite dimensions. The distributed system is a state in which phenomena occur modeled by the differential equation. Within this framework, the study of the control of stationary systems (independent from time) is quite relevant and this approach is selected to deal with the subject matter.
Auteur(s)
-
Jean-Pierre YVON : Professeur à l'Institut national des sciences appliquées (INSA) de Rennes
INTRODUCTION
Ce qu'on appelle classiquement l'automatique est un terme qui regroupe l'ensemble des techniques permettant d'agir sur un système dynamique pour lequel x (t), état du système à l'instant t, est un vecteur de
, donc de dimension finie. Ces systèmes sont, dans le majorité des cas, gouvernés par des équations différentielles, linéaires ou non (cf. ) dans cette base documentaire (réf. ).
L'objet de cet article est de traiter de la commande ou du contrôle (les termes sont équivalents) de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles. La différence essentielle réside dans le fait que, à chaque instant t, l'état du système, noté maintenant y(t), est une fonction d'une variable d'espace x (on le notera donc également y(x, t)) ; on peut donc considérer y(t) comme un élément d'un espace fonctionnel qui n'est pas de dimension finie, d'où la terminologie de système dynamique en dimension infinie. Le terme de système distribué, qui semble s'être imposé dans la littérature (« distributed system » en anglais), provient du fait que y(t) est un état « distribué » sur le domaine Ω de l'espace
, n = 1, 2, 3, dans lequel se produisent les phénomènes modélisés par l'équation aux dérivées partielles. Il y a donc des liens très étroits avec l'automatique qui seront largement soulignés dans la présentation des problèmes et des méthodes.
Une particularité de ce sujet est que l'étude du contrôle de systèmes stationnaires (indépendants du temps) est tout à fait pertinente et c'est d'ailleurs par ce type de situations que l'on peut aborder le sujet.
Enfin il y a lieu d'indiquer que de nombreux problèmes qui, a priori, ne se posent pas en termes de problème de commande optimale, s'y ramènent de manière naturelle : c'est le cas, par exemple, des problèmes d'identification de paramètres et d'optimisation de formes.
Le lecteur trouvera dans l'annexe, au paragraphe 8, de brefs rappels et en des indications bibliographiques pour tout ce qui concerne les équations aux dérivées partielles intervenant dans cet article.
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Annexe : rappels et notations sur les équations aux dérivées partielles7. Quelques remarques et conclusion
Beaucoup de questions n’ont pas été abordées ici, notamment les problèmes avec contraintes sur le contrôle et, surtout, sur l’état. Pour ce qui concerne les contraintes sur le contrôle, on les traite, en général, directement en utilisant une méthode d’optimisation adaptée. Les contraintes sur l’état peuvent, bien souvent, être prises en compte par des méthodes de pénalisation (cf. ).
Les problèmes non linéaires soulèvent de nombreuses difficultés, ne serait-ce que pour l’existence (sans parler d’unicité) d’un contrôle optimal. Cela nécessite des techniques particulières, notamment la compacité, qui sont classiques dans l’étude des équations aux dérivées partielles non linéaires. Par contre, le calcul des dérivées directionnelles — on en a vu quelques exemples — se fait, en général sans trop de difficulté.
Enfin on ne peut terminer cet article sans évoquer une question classique : à quoi cela sert-il de faire des théories (compliquées !) sur ce type de problème puisque, in fine, on résoudra un problème approché, donc en dimension finie ?
En fait, il est important de comprendre que l’approximation numérique masque un certain nombre de propriétés (ou de difficultés) du problème continu qu’il est fondamental de comprendre si l’on veut, ensuite, résoudre ce problème correctement (évidemment, par une discrétisation convenable). Cette remarque est particulièrement cruciale pour les questions de stabilité : à titre d’exemple on peut avoir une infinité de pôles stables mais dont la partie réelle tend vers 0, ce qui soulève quelques problèmes ! D’une façon générale, on ne peut donc pas « transférer » brutalement les méthodes de l’automatique (en dimension finie) sur le problème discrétisé en espace. De plus, certains exemples nécessitent d’adapter la discrétisation de l’équation au type de problème de contrôle que l’on veut résoudre : ce n’est pas tant la précision de la solution (en tout point du domaine) qui compte, que l’écart entre la relation entrée-sortie du problème discret et celle du problème continu (cela peut permettre de traiter des problèmes de tailles plus réduites).
Le problème de la dimension est d’ailleurs...
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Quelques remarques et conclusion
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
ANNEXES
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J. P. Yvon (auteur de ce texte) :
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