Présentation des systèmes dynamiques

Auteur(s) : Bernard RANDÉ

Date de publication : 10 janv. 1998 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Exemples élémentaires

1.1 - Exemple d’une équation vectorielle linéaire à coefficients constants

Figure 1 - Flèche du temps Figure 2 - Éléments de contact
1.2 - Exemple d’une équation scalaire d’ordre deux, linéaire et à coefficients constants
1.3 - Exemple d’une équation scalaire d’ordre deux, non linéaire, autonome

2 - Outils mathématiques

2.1 - Théorème de Cauchy et Lipschitz
2.2 - Régularité par rapport aux conditions initiales
2.3 - Cas des équations non scalaires
2.4 - Équations autonomes
2.5 - Retour sur le cas non autonome

3 - L’exemple du pendule simple

3.1 - Le problème physique et sa loi d’évolution

Figure 6 - Pendule simple
3.2 - Utilisation d’une intégrale première

Figure 7 - Courbes de niveau
3.3 - Étude avec conditions initiales particulières
3.4 - Étude générale

Tableau 1
3.5 - Interprétation

4 - La notion de système dynamique

4.1 - Le cas « continu »
4.2 - Le cas « discret »

5 - Quelques exemples de systèmes dynamiques simples

5.1 - Systèmes dynamiques continus dans
5.2 - Systèmes dynamiques discrets dans

Présentation

Auteur(s)

Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’école normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis

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INTRODUCTION

Les systèmes dynamiques n’ont été étudiés en tant que tels que assez tardivement. Ils sont néanmoins apparus assez tôt dans l’histoire scientifique, puisque l’on peut les reconnaître dans les premiers travaux de la mécanique donnant lieu à des équations différentielles.

Schématiquement, un tel système est la donnée d’une loi d’évolution qui, à partir de conditions initiales, détermine le futur d’un phénomène. Le paradigme en est l’équation différentielle, qui exprime une loi régissant, elle-même, l’évolution temporelle d’un phénomène convenablement paramétré. Cette loi détermine l’évolution du système lorsque les paramètres sont connus à un certain instant. Sous cette forme, le système dynamique ne peut rendre compte que d’une loi déterministe.

La résolution explicite, ou même approchée, d’une équation différentielle, est en général impossible. Dans une large mesure, l’étude des systèmes qui nous occupent vise à formuler les termes d’une étude qualitative des phénomènes.

Dans le cadre de cet article, nous nous contenterons d’introduire le langage nécessaire, en restant dans un cadre élémentaire. Nous n’aborderons pas vraiment le problème fondamental de la perturbation dans un système dynamique ou d’un système dynamique, qui fait l’objet d’un article séparé, dont la lecture suppose la connaissance des notions développées dans le présent article

Le but de la partie 1 est de fournir des exemples d’équations différentielles sur lesquels est présenté informellement le langage. Celui-ci sera précisé dans le cadre de la partie 2, où sont aussi fournis les outils élémentaires sur les équations différentielles. La partie 3 donne l’occasion de mettre en œuvre ces outils. La partie 4 dégage, sans y insister, les propriétés fondamentales, qui permettent d’introduire les systèmes dynamiques discrets. Dans la partie 5, on trouvera traités des exemples très simples de systèmes dynamiques dans $ℝ$ .