Séries et développements combinatoires
Analyse combinatoire avancée

AF201 v1 Article de référence

Séries et développements combinatoires
Analyse combinatoire avancée

Auteur(s) : Louis COMTET

Date de publication : 10 juil. 2001 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Répétitions

1.1 - Partages d’ensemble, coefficients multinomiaux

Figure 1 - Les (2, 1, 2)-partages
1.2 - Formule du multinôme ou identité multinomiale
1.3 - Combinaisons avec répétitions : définitions

Figure 3 - La bijection
1.4 - Combinaisons avec répétitions : propriétés
1.5 - Combinaisons avec répétitions conditionnées

Figure 5 - Un « mur »
1.6 - Discernable et indiscernable

Tableau 1

2 - Quelques problèmes classiques

2.1 - Combinaisons rectilignes. Nombres de Fibonacci
2.2 - Combinaisons sur un cercle. Nombres de Lucas
2.3 - Droites et points du plan
2.4 - Polygones convexes

Figure 11 - Polygone convexe
2.5 - Problème des anniversaires

Figure 13 - Problème des anniversaires
2.6 - Problème des ménages
2.7 - Nombres de Catalan
2.8 - Identité d’Abel
2.9 - Identités combinatoires. Rang des formules

Figure 16 - SL3548832-web

3 - Séries et développements combinatoires

3.1 - Série du binôme
3.2 - Estimation des coefficients binomiaux
3.3 - Série du multinôme
3.4 - Formule de Leibniz
3.5 - Polynômes de Bell et formule de Faà de Bruno
3.6 - Polynômes potentiels
3.7 - Itération fractionnaire des séries entières formelles
3.8 - Formule de réversion de Lagrange
3.9 - Convergence de la série de Lagrange

Figure 18 - Équation z + z 3 = w

Bibliographie & annexes

Présentation

Auteur(s)

Louis COMTET : Agrégé de Mathématiques - Docteur ès Sciences Mathématiques - Maître de conférences à l’Université de Paris-Sud

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INTRODUCTION

Les outils de base, combinaisons, arrangements et cribles, ont été introduits et commentés dans le fascicule précédent. Il s’agit à présent d’en présenter d’autres, plus avancés, comme la notion de répétitions qui sera étudiée en long et en large.

Des exemples classiques d’applications de tout l’appareil combinatoire ainsi forgé seront ensuite proposés. Les cas historiques des ménages, des anniversaires, des parenthésages, des nombres de Fibonacci et de Lucas, sans omettre quelques autres bien sentis issus de la Géométrie, seront traités avec détails.

Enfin, une étude générale de divers développements, convergents ou non, utiles dans les calculs combinatoires approfondis à venir, viendront parachever cette seconde partie par des résultats parfois méconnus.

L’article « Analyse combinatoire » fait l’objet de plusieurs fascicules :

AF 200 Analyse combinatoire élémentaire

AF 201 Analyse combinatoire avancée

AF 202 Analyse combinatoire approfondie

Les sujets ne sont pas indépendants les uns des autres.

Le lecteur devra assez souvent se reporter aux autres fascicules.

Le lecteur pourra utilement se reporter à la Bibliographie.

Un tableau des notations et des abréviations est donné au début du fascicule

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af201

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3. Séries et développements combinatoires

3.1 Série du binôme

La formule du binôme (de Newton), vue en [AF 200], § 2.5, donnait le développement :

{(1 + x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) x^{k},

valable pour tout x dans $ℝ$ (ou dans $ℂ$ , ou même dans un anneau commutatif unitaire) et tout entier positif n , n ∊ $ℕ$ . En fait, ce développement pouvait aussi être regardé comme une identité polynomiale si x était considéré comme une indéterminée formelle.

Nous allons maintenant étudier la généralisation de la formule du binôme au développement en série entière (infinie) de la fonction (1 + x)^α.

Théorème 6. Pour tout réel x ∊ ]–1 , 1[, et tout α , réel ou complexe, on a :

{(1 + x)}^{α} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{matrix} α \\ k \end{matrix}) x^{k} ...

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