Présentation
Auteur(s)
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Louis COMTET : Agrégé de Mathématiques - Docteur ès Sciences Mathématiques - Maître de conférences à l’Université de Paris-Sud
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les outils de base, combinaisons, arrangements et cribles, ont été introduits et commentés dans le fascicule précédent. Il s’agit à présent d’en présenter d’autres, plus avancés, comme la notion de répétitions qui sera étudiée en long et en large.
Des exemples classiques d’applications de tout l’appareil combinatoire ainsi forgé seront ensuite proposés. Les cas historiques des ménages, des anniversaires, des parenthésages, des nombres de Fibonacci et de Lucas, sans omettre quelques autres bien sentis issus de la Géométrie, seront traités avec détails.
Enfin, une étude générale de divers développements, convergents ou non, utiles dans les calculs combinatoires approfondis à venir, viendront parachever cette seconde partie par des résultats parfois méconnus.
L’article « Analyse combinatoire » fait l’objet de plusieurs fascicules :
AF 200 Analyse combinatoire élémentaire
AF 201 Analyse combinatoire avancée
AF 202 Analyse combinatoire approfondie
Les sujets ne sont pas indépendants les uns des autres.
Le lecteur devra assez souvent se reporter aux autres fascicules.
Le lecteur pourra utilement se reporter à la Bibliographie.
Un tableau des notations et des abréviations est donné au début du fascicule
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2. Quelques problèmes classiques
2.1 Combinaisons rectilignes. Nombres de Fibonacci
Nous nous intéressons maintenant à divers aspects des combinaisons (ou parties) d’un ensemble fini N, │N │ = n, dont les éléments sont numérotés de 1 à n. Nous identifions désormais N avec le segment d’entiers
.
Définition 6. Une partie
est dite dispersée si deux quelconques de ses éléments ne sont jamais consécutifs.
Par exemple, si n = 7, A = {2, 4, 7} est dispersée, mais B = {2, 4, 5} ne l’est pas, car les éléments 4 et 5 se suivent.
Proposition 2.
Le nombre ƒ(n, k) des k-parties dispersées de
vaut
.
Nous donnerons de ce résultat, d’abord une preuve bijective, puis une preuve algébrique.
Preuves.
1 (bijective).
Appelons
(n, k)...
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