Algorithme du pivot de Gauss. Conséquences
Calcul matriciel

AF86 v1 Article de référence

Algorithme du pivot de Gauss. Conséquences
Calcul matriciel

Auteur(s) : Gérard DEBEAUMARCHÉ, Danièle LINO

Relu et validé le 19 nov. 2019 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Matrices d’une application linéaire. Opérations sur les matrices

1.1 - Matrice d’une application linéaire
1.2 - Somme et produit par un scalaire
1.3 - Produit de deux matrices
1.4 - Matrices carrées

2 - Changement de bases

2.1 - Matrices de passage
2.2 - Matrices équivalentes. Matrices semblables

3 - Rang d’une matrice

4 - Matrices équivalentes

5 - Algorithme du pivot de Gauss. Conséquences

5.1 - Manipulations élémentaires sur les matrices
5.2 - Diverses formes de l’algorithme du pivot de Gauss

6 - Déterminants

6.1 - Généralités
6.2 - Étude des formes n-linéaires alternées sur E (dim E = n)
6.3 - Déterminant d’une matrice carrée et d’un endomorphisme
6.4 - Calcul des déterminants
6.5 - Application des déterminants

7 - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

7.1 - Éléments propres d’un endomorphisme et d’une matrice carrée
7.2 - Trigonalisation et théorème de Hamilton-Cayley
7.3 - Diagonalisation des endomorphismes et des matrices carrées
7.4 - Diagonalisation par blocs

Présentation

Auteur(s)

Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims

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INTRODUCTION

De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires. Le système (S) :

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 p} x_{p} \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + \dots + a_{np} x_{p} \end{cases} \begin{matrix} = b_{1} \\ ⋮ \\ = b_{n} \end{matrix}

(où les inconnues sont les nombres $x_{1}, \dots, x_{p}$ et où les nombres a_ij et b_i sont donnés dans $K$ ) se note aussi, sous forme matricielle :

(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 p} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{np} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{p} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})

ou de façon plus ramassée :

AX = B

(cette égalité ne signifiant rien d’autre que les n égalités du système (S)).

L’exemple ci-après illustre cette situation.

Considérons l’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x), que l’on retrouve en résistance des matériaux avec des conditions aux limites de la forme y (a) = A, y (b) = B, les fonctions q et f étant continues sur [a, b]. Ce problème aux limites admet une solution unique y, dont on peut chercher des approximations de la façon suivante. On établit un maillage du segment [a, b] en subdivisant celui-ci en n + 1 sous-segments égaux dont les extrémités sont notées a = x₀, x₁, …, x_n, x_n + 1 = b. On sait, d’après la formule de Taylor, que :

{\begin{matrix} y (x + h) = y (x) + {hy}^{'} (x) + \frac{h^{2}}{2} y^{″} (x) + 0 (h^{2}) \\ y (x - h) = y (x) - {hy}^{'} (x) + \frac{h^{2}}{2} y^{″} (x) + 0 (h^{2}) \end{matrix}

Donc une valeur approchée de y’’(x) est (par addition) :

y^{″} (x) \approx \frac{y (x + h) - 2 y (x) + y (x - h)}{h^{2}} .

Ici, on prendra donc $h = \frac{b - a}{n + 1}$ et il vient :

y^{″} (x_{i}) \approx \frac{y (x_{i + 1}) - 2 y (x_{i}) + y (x_{i - 1})}{h^{2}}

L’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x) donne ainsi, lorsqu’on l’écrit aux point x₁, x₂, …, x_n du maillage :

\frac{y (x_{i + 1}) - 2 y (x_{i}) + y (x_{i - 1})}{h^{2}} + q (x_{i}) y (x_{i}) = f (x_{i}) .

En fait, vu l’approximation faite sur y’’, on n’obtient pas les nombres y (x_i) mais des valeurs approchées y_i de ceux-ci. Et les équations précédentes s’écrivent matriciellement :

(\begin{matrix} - 2 + h^{2} q (x_{1}) & 1 & (0) \\ 1 & - 2 + h^{2} q (x_{2}) & ⋱ & 1 \\ ⋱ \\ (0) & ⋱ & ⋱ & 1 \\ ⋱ & ⋱ \\ 1 & - 2 + h^{2} q (x_{n}) \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - A + h^{2} f (x_{1}) \\ h^{2} f (x_{2}) \\ ⋮ \\ - B + h^{2} f (x_{n}) \end{matrix})

On est ainsi ramené à résoudre un système d’équations linéaires (de grande taille dans les applications pratiques).

Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af86

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5. Algorithme du pivot de Gauss. Conséquences

On expose, dans ce paragraphe, l’algorithme du pivot de Gauss. Celui-ci permet :

d’une part, d’avoir un algorithme simple et numériquement efficace de résolution des systèmes et d’inversion des matrices carrées ;
d’autre part, de préciser des générateurs simples du groupe linéaire.

5.1 Manipulations élémentaires sur les matrices

Dans ce paragraphe, on désigne par M = (m_i, j ) une matrice appartenant à $M_{n, p} (K)$ . Nous décrivons maintenant ce qu’il est convenu d’appeler manipulations élémentaires sur les lignes de cette matrice.

Ajout à une ligne d’une autre ligne multipliée par un scalaire λ

Ajouter à la première ligne λ fois la seconde s’interprète matriciellement de la façon suivante :

$(\begin{matrix} 1 & λ & \dots \\ (0) \\ 1 & 0 \\ ⋱ & ⋱ \\ (0) & ⋱ & 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} m_{1,1} & \dots & m_{1, p} \\ m_{2,1} & \dots & m_{2, p} \\ ⋮ & ⋮ \\ m_{n, 1} & \dots & m_{n, p} \end{matrix}) = (\begin{matrix} m_{1,1} + ... \end{matrix}$