Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
On s'intéresse à une somme le plus souvent à cause de son comportement au voisinage d'un point particulier, à distance finie ou infinie. Pour cela, il faut disposer de méthodes d'évaluation asymptotique, qui font l'objet de cet article. Après une présentation du langage de la comparaison asymptotique, cet article aborde quelques méthodes assez générales, illustrées par des exemples.
Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.
Lire l’articleAuteur(s)
-
Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand
INTRODUCTION
Lorsque l’on a affaire à une somme, qu’elle soit finie ou infinie, qu’elle dépende de la borne ou d’un paramètre, il est fréquent que l’on ne s’y intéresse que du point de vue de son comportement au voisinage d’un point particulier, à distance finie ou infinie. Cela suppose de disposer de méthodes d’évaluation asymptotique. Nous introduirons d’abord le langage de la comparaison asymptotique, d’ailleurs omniprésent en analyse. Nous étudierons ensuite quelques méthodes assez générales, qui seront illustrées par des exemples. Souvent, les procédés conduisent à des calculs plutôt compliqués, que les logiciels de calcul formel ne sont pas toujours capables d’effectuer à l’heure actuelle.
L'expertise technique et scientifique de référence
DOI (Digital Object Identifier)
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(202 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Présentation
Généralités3. Intégrales et sommes dépendant d’un paramètre
Lorsque l’on dispose d’une fonction définie par une intégrale dépendant d’un paramètre, où le paramètre joue le rôle de variable, on peut être conduit à chercher un équivalent de cette fonction lorsque la variable tend vers + ∞ ; de la même façon, lorsque l’on dispose d’une fonction définie par la somme d’une série de fonctions, on peut être conduit à chercher un équivalent analogue.
Trois exemples relèvent de cette recherche : la transformée de Laplace d’une fonction, les intégrales tournantes et la somme d’une série entière. Ils conduisent respectivement aux trois sous-paragraphes qui suivent.
3.1 Méthode de Laplace
Nous considérons une intégrale de la forme :
supposée exister pour x assez grand. Nous cherchons un équivalent de I(x) lorsque x tend vers a.
Nous faisons l’hypothèse que f et g sont à valeurs réelles, que g atteint son maximum en le seul point 0. Il est concevable, à cause de la présence de l’exponentielle, que le comportement de I pour les grandes valeurs de x est dirigé par les valeurs de t proches de 0. Nous voyons donc que la borne + ∞ de l’intégrale n’a pas d’importance particulière. D’ailleurs, lorsque l’on veut étudier une intégrale du type :
où b est fini, il suffit de prolonger f par 0 sur
et g par n’importe quelle valeur plus petite que g(0) pour se ramener au cas précédent. La borne + ∞ n’est donc là que pour éviter d’introduire...
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(202 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
Intégrales et sommes dépendant d’un paramètre
L'expertise technique et scientifique de référence
Cet article fait partie de l’offre
Mathématiques
(202 articles en ce moment)
Cette offre vous donne accès à :
Une base complète d’articles
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques
Des services
Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources
Un Parcours Pratique
Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses
Doc & Quiz
Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive
