Cas des fonctions localement de carré intégrable
Séries de Fourier

AF141 v1 Article de référence

Cas des fonctions localement de carré intégrable
Séries de Fourier

Auteur(s) : Hervé QUEFFÉLEC

Date de publication : 10 janv. 1999 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Coefficients de Fourier d’une fonction 2π – périodique

1.1 - Classes de fonctions localement intégrables
1.2 - Formules de Fourier
1.3 - Convolution de deux fonctions et théorème d’unicité

Figure 1 - Graphe de KN
1.4 - Cas des séries uniformément convergentes
1.5 - Règles de calcul

2 - Développement en série de Fourier

2.1 - Noyau de Dirichlet
2.2 - Théorème de Dirichlet
2.3 - Principe de localisation de Riemann et retour à Dirichlet

3 - Exemples de développement en série de Fourier

3.1 - Cas des fonctions paires ou impaires
3.2 - Fonction signal. Fonction triangle
3.3 - Fonction │cos│. Théorème de Weierstrass

4 - Cas des fonctions localement de carré intégrable

4.1 - Base des exponentielles imaginaires
4.2 - Inégalité de Bessel. Identité de Parseval
4.3 - Fonctions de classe C 1 et convergence normale
4.4 - Retour au théorème de Weierstrass

5 - Équation de la chaleur pour une barre finie

5.1 - Modélisation du problème
5.2 - Séparation des variables et séries de Fourier
5.3 - Principe du maximum
5.4 - Théorème d’existence et d’unicité

6 - Applications diverses des séries de Fourier

6.1 - Inégalité de Wirtinger
6.2 - Une équation aux différences
6.3 - Critère de Weyl. Loi de Benford

Bibliographie & annexes

Présentation

Auteur(s)

Hervé QUEFFÉLEC : Professeur de mathématiques à l’Université de Lille

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INTRODUCTION

Rappelons qu’une fonction f : $ℝ$ → $ℂ$ est dite T – périodique si,

f (x + T ) = f (x )

pour tout x réel ;

On peut toujours se ramener à T = 2 π, quitte à considérer g(x) = $f (\frac{Tx}{2 π})$ .

Une des propriétés essentielles du nombre π est que les fonctions cos nx, sin nx, e ^inx (où n est entier), appelées « signaux élémentaires », sont 2 π - périodiques ainsi que leurs combinaisons linéaires ; une question naturelle se pose alors : obtient-on ainsi toutes les fonctions 2 π – périodiques ? On va voir que la réponse est essentiellement « oui » si on autorise les combinaisons linéaires infinies (séries), mais des problèmes délicats de régularité de la fonction f et de convergence des séries surgissent.

La théorie des séries de Fourier, initiée par Fourier dans sa Théorie analytique de la chaleur, avait au départ un but analogue : montrer que toutes les solutions d’une certaine équation aux dérivées partielles, dite équation de la chaleur (nous l’étudierons dans les applications), s’obtiennent comme superposition de solutions élémentaires ; cette théorie a aujourd’hui pour but de préciser comment une fonction f 2 π – périodique plus ou moins arbitraire peut s’obtenir à partir des signaux élémentaires et réciproquement de voir les fonctions f qu’on obtient en prenant des combinaisons linéaires infinies plus ou moins arbitraires des signaux élémentaires, disons $\sum c_{n} e^{i nx}$ :

la première opération s’appelle l’analyse de f ;
la seconde la synthèse des signaux c_n e ^inx.

Ces deux opérations sont inverses l’une de l’autre, comme la dérivation et l’intégration.

Considérons l’exemple du noyau de Poisson P _r , donné par la formule :

P_{r} (t) = \frac{1 - r^{2}}{1 - 2 r \cos t + r^{2}} (0 \leq r < 1) .

^( 1 )

L’analyse de P _r , 2 π – périodique, conduit à montrer qu’il se représente par la série normalement convergente :

\sum_{- \infty}^{\infty} r^{| n |} e^{i nt} .

Inversement, la synthèse des signaux $r^{| n |}$ e ^int conduit à :

\sum_{- \infty}^{\infty} r^{| n |} e^{i nt} = \sum_{0}^{\infty} r^{n} e^{i nt} + \sum_{0}^{\infty} r^{n} e^{- i nt} - 1 = {(1 - {re}^{i t})}^{- 1} + {(1 - {re}^{- i t})}^{- 1} - 1

= \frac{1 - r^{2}}{1 - 2 r \cos t + r^{2}},

et on retrouve la relation [1].

On dispose alors pour P _r de deux avatars (c’est l’un des grands intérêts de la théorie, limité par le principe d’incertitude d’Heisenberg) :

l’avatar « fonction » [1], sur lequel on lit par exemple la positivité de P _r , peu claire sous la forme [2] ;
l’avatar « série de Fourier » [2], sur lequel on lit par exemple que :

$\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} P_{r} (t) d t = 1,$

ce qui est peu clair sous la forme [1].

De façon générale, comment fait-on pour associer à une fonction f une série de Fourier $\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i nx}$ , c’est-à-dire comment fait-on pour calculer les c_n en fonction de f ? C’est ce que nous allons voir dans la suite.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af141

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4. Cas des fonctions localement de carré intégrable

4.1 Base des exponentielles imaginaires

Soit L ² l’ensemble des fonctions f ∊ L ¹ telles que :

\int_{a}^{b} {| f (t) |}^{2} d t < \infty pour tous a, b \in ℝ (a < b);

^( 14 )

L ² est un sous-espace vectoriel strict de L ¹ et ││f ││₁ $\leq$ ││f ││₂ pour f ∊ L ² (inégalité de Cauchy-Schwarz) où on pose :

{‖ f ‖}_{2} = {(\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {| f (t) |}^{2} d t)}^{1 / 2};

││ ││₂ s’appelle la norme L ² et elle est associée au produit scalaire :

(f / g) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 ...}

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