Rappelons qu’une fonction f :
→
est dite T – périodique si,
pour tout x réel ;
On peut toujours se ramener à T = 2 π, quitte à considérer g(x) =
.
Une des propriétés essentielles du nombre π est que les fonctions cos nx, sin nx, einx (où n est entier), appelées « signaux élémentaires », sont 2 π - périodiques ainsi que leurs combinaisons linéaires ; une question naturelle se pose alors : obtient-on ainsi toutes les fonctions 2 π – périodiques ? On va voir que la réponse est essentiellement « oui » si on autorise les combinaisons linéaires infinies (séries), mais des problèmes délicats de régularité de la fonction f et de convergence des séries surgissent.
La théorie des séries de Fourier, initiée par Fourier dans sa Théorie analytique de la chaleur, avait au départ un but analogue : montrer que toutes les solutions d’une certaine équation aux dérivées partielles, dite équation de la chaleur (nous l’étudierons dans les applications), s’obtiennent comme superposition de solutions élémentaires ; cette théorie a aujourd’hui pour but de préciser comment une fonction f 2 π – périodique plus ou moins arbitraire peut s’obtenir à partir des signaux élémentaires et réciproquement de voir les fonctions f qu’on obtient en prenant des combinaisons linéaires infinies plus ou moins arbitraires des signaux élémentaires, disons
:
-
la première opération s’appelle l’analyse de f ;
-
la seconde la synthèse des signaux cn einx.
Ces deux opérations sont inverses l’une de l’autre, comme la dérivation et l’intégration.
Considérons l’exemple du noyau de Poisson Pr , donné par la formule :
( 1 )
L’analyse de Pr , 2 π – périodique, conduit à montrer qu’il se représente par la série normalement convergente :
Inversement, la synthèse des signaux
eintconduit à :
et on retrouve la relation [1].
On dispose alors pour Pr de deux avatars (c’est l’un des grands intérêts de la théorie, limité par le principe d’incertitude d’Heisenberg) :
-
l’avatar « fonction » [1], sur lequel on lit par exemple la positivité de Pr , peu claire sous la forme [2] ;
-
l’avatar « série de Fourier » [2], sur lequel on lit par exemple que :
![]()
ce qui est peu clair sous la forme [1].
De façon générale, comment fait-on pour associer à une fonction f une série de Fourier
, c’est-à-dire comment fait-on pour calculer les cn en fonction de f ? C’est ce que nous allons voir dans la suite.
