Variétés différentielles

La géométrie différentielle classique traite des courbes et des surfaces de l’espace euclidien au point de vue du calcul différentiel. Parmi les notions étudiées dans ce cadre, citons les tangentes aux courbes, les plans tangents aux surfaces, la courbure, les longueurs et les aires, les champs de vecteurs et leurs courbes intégrales.

Ce point de vue élémentaire des courbes et des surfaces s’avère vite insuffisant face à la nécessité d’envisager des ensembles de points dépendant d’un nombre quelconque de paramètres. En précisant convenablement cette idée, on aboutit à la notion de variété différentielle qui est à la base de la géométrie différentielle moderne.

Dans cet article, nous étudierons d’abord les propriétés des courbes et des surfaces puis les notions générales liées à la structure de variété différentielle.