Espaces métriques I - Notions de base

INTRODUCTION

1 - PRÉAMBULE

• 1.1 - Éléments historiques
• 1.2 - Branches des mathématiques concernées
• 1.3 - Intérêts théoriques et pratiques
• 1.4 - Lectorat et conseil de lecture

2 - ESPACES MÉTRIQUES

• 2.1 - Rappels de théorie des ensembles
• 2.2 - Métriques
• 2.3 - Boules et sphères
• 2.4 - Diamètres
• 2.5 - Distances entre sous-ensembles
• 2.6 - Points d’accumulation
• 2.7 - Fonctionnelles de distance
• 2.8 - Métriques induites
• 2.9 - Ultra-métriques
• 2.10 -  Métriques généralisées
• 2.11 -  Métriques étendues
• 2.12 -  Bornitude
• 2.13 -  Espaces totalement bornés
• 2.14 -  Espaces métriques régulièrement bornés
• 2.15 -  Équivalence entre métriques
• 2.16 -  Points particuliers

  • Quiz d'entraînement

3 - SUITES DE POINTS ET DE SOUS-ENSEMBLES

• 3.1 - Suites de points
• 3.2 - Complétude
• 3.3 - Complétion
• 3.4 - Équivalence entre métriques
• 3.5 - Complétude locale

4 - APPLICATIONS ENTRE ESPACES MÉTRIQUES

• 4.1 - Définition
• 4.2 - Continuité séquentielle
• 4.3 - Continuité uniforme
• 4.4 - Continuité de Cauchy
• 4.5 - Applications bornées
• 4.6 - Applications lipchitziennes
• 4.7 - Contractions
• 4.8 - Similitudes
• 4.9 - Isométries
• 4.10 -  Quasi-isométries
• 4.11 -  Presque-isométries
• 4.12 -  Applications höldériennes
• 4.13 -  Module de continuité
• 4.14 -  Continuité de Dini
• 4.15 -  Comparaison des notions de continuité
• 4.16 -  Équivalence entre métriques
• 4.17 -  Équivalence entre espaces métriques
• 4.18 -  Continuité des fonctions distances

  • Quiz d'entraînement

5 - NOTIONS DE SÉPARATION

• 5.1 - Espaces métriques
• 5.2 - Espaces semi-métriques
• 5.3 - Espaces pseudo-métriques
• 5.4 - Espaces quasi métriques
• 5.5 - Espaces semi-pseudo-métriques
• 5.6 - Espaces semi-quasi-métriques
• 5.7 - Remarques
• 5.8 - Intérêts du concept de séparation

6 - NOTIONS DE DÉNOMBRABILITÉ

• 6.1 - Bases dénombrables de voisinages
• 6.2 - Bases dénombrables d’ouverts
• 6.3 - Séparabilité
• 6.4 - Séquentialité

7 - NOTIONS DE COMPACITÉ

• 7.1 - Espaces compacts
• 7.2 - Espaces relativement compacts
• 7.3 - Espaces localement compacts
• 7.4 - Espaces compactement engendrés
• 7.5 - Espaces dénombrablement compacts
• 7.6 - Espaces paracompacts
• 7.7 - Espaces métacompacts et faiblement métacompacts
• 7.8 - Espaces dénombrablement paracompacts
• 7.9 - Espaces de Lindelöf
• 7.10 -  Espaces σ-compacts
• 7.11 -  Espaces pseudo-compacts
• 7.12 -  Espace séquentiellement compacts
• 7.13 -  Espaces faiblement dénombrablement compacts
• 7.14 -  Espaces métriques pré-compacts
• 7.15 -  Relations entre les notions de compacité

  • Quiz d'entraînement

8 - NOTIONS DE CONNEXITÉ

• 8.1 - Connexités
• 8.2 - Discontinuités

9 - MÉTRISABILITÉ ET MÉTRISATION

• 9.1 - Métrisabilité
• 9.2 - Métrisabilités particulières
• 9.3 - Métrisation

10 -  APPLICATIONS ENTRE ESPACES MÉTRIQUES II

• 10.1 -  Extension d’applications
• 10.2 -  Théorèmes du point fixe

11 -  PRÉSERVATION ET INVARIANCE DES PROPRIÉTÉS

• 11.1 -  Bornitude
• 11.2 -  Bornitude totale
• 11.3 -  Complétude
• 11.4 -  Métrisabilité

  • Quiz d'entraînement

12 -  CONCLUSION

• 12.1 -  Autres notions
• 12.2 -  Problèmes et questions ouverts
• 12.3 -  Applications inattendues
• 12.4 -  Nouvelles applications et nouveaux développements théoriques

TEST DE VALIDATION