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Distributions - Opérations et dérivéesArticle de référence | Réf : AF145 v1
ARTICLE INTERACTIF
Auteur(s) : Michel DOISY
Date de publication : 10 avr. 2005
Relu et validé le 26 avr. 2021
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L’idée la plus naturelle, pour définir la transformée de Fourier d’une distribution est de poser :
La difficulté provient du fait que pour ϕ dans
, on a bien
indéfiniment dérivable mais jamais à support compact. Ainsi
n’appartient pas
et la formule précédente n’a pas de sens, sauf à pouvoir prolonger T à un espace plus gros que
. L’idée est alors de travailler dans un espace de fonctions tests qui soit invariant par la transformation de Fourier. Le bon espace est l’espace
des fonctions
à décroissance rapide ainsi que leurs dérivées, dit espace des fonctions de Schwartz. C’est d’ailleurs cet espace qui permet la construction la plus simple de la transformée de Fourier dans
. Nous rappellerons tout d’abord les principales propriétés de cet espace de fonctions. Une fois construite la transformée de Fourier des distributions, nous utiliserons abondamment les propriétés de la transformée de Fourier des fonctions – dans
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(1) - GASQUET (C.), WITOMSKI (P.) - Analyse de Fourier et applications. Filtrage – Calcul Numérique – Ondelettes - . 354 p. – Masson – Paris (1990).
(2) - HERVÉ (M.) - Transformation de Fourier et distributions - . 182 p. – PUF – Paris (1986).
(3) - SAICHEV (A.I.), WOYCZYNSKI (W.A.) - Distributions in the physical and engineering sciences. Volume 1. Distributional and fractal calculus, integral transforms and wavelets - . 336 p. – Birkhäuser – Boston (1997).
(4) - SCHWARTZ (L.) - Méthodes mathématiques pour les sciences physiques. - 390 p. Herman-Paris (1965).
(5) - RODDIER (F.) - Distributions et transformation de Fourier - . 323 p. – Ediscience International – Paris (1978).
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