Transformée de Fourier des distributions
Distributions - Convolution et transformée de Fourier

Dans un premier article , nous avons présenté les principales opérations sur les distributions et abordé la notion fondamentale de dérivée d’une distribution.

Ce deuxième article traite plus particulièrement du produit de convolution des distributions et de leur transformée de Fourier.

Utilisés conjointement, le produit de convolution et la transformée de Fourier sont deux outils très efficaces pour résoudre certaines équations différentielles. Soit par exemple à résoudre :

$-\mathrm{\hspace{0.17em}}\frac{1}{{\omega }^2}{g}^{″}+g=f$

Formellement, et en utilisant les propriétés du produit de convolution et de la transformée de Fourier , on peut écrire :

$-\mathrm{\hspace{0.17em}}\frac{1}{{\omega }^2}{\left(2\mathrm{ }\mathrm{i}\mathrm{ }\mathrm{\pi }t\right)}^2\widehat{g}\left(t\right)+\widehat{g}\left(t\right)=\widehat{f}\left(t\right)$

soit encore :

$\widehat{g}\left(t\right)\left[1+\frac{4{\mathrm{ \pi }}^2\mathrm{ }{t}^2}{{\omega }^2}\right]=\widehat{f}\left(t\right)$

Comme la fonction $\left[1+\frac{4{\mathrm{ \pi }}^2\mathrm{ }{t}^2}{{\omega }^2}\right]$ n’a pas de zéro réel :

$\widehat{g}\left(t\right)=\frac{1}{1+\frac{4{\mathrm{ \pi }}^2\mathrm{ }{t}^2}{{\omega }^2}}\widehat{f}\left(t\right)$

En utilisant les tables de transformées de Fourier, on a :

$\frac{1}{1+\frac{4{\mathrm{ \pi }}^2\mathrm{ }{t}^2}{{\omega }^2}}=\widehat{h}\left(t\right)$ avec $h\left(x\right)=\frac{1}{2}\omega {\mathrm{ e}}^{-\omega \left|x\right|}$

Finalement :

$\widehat{g}\left(t\right)=\widehat{h}\left(t\right)\widehat{f}\left(t\right)=\widehat{h\mathrm{*}f}\left(t\right)$

et grâce à l’injectivité de la transformée de Fourier :

$g=h\mathrm{*}f$

ou encore :

$g\left(x\right)=\frac{1}{2}\omega {\displaystyle {\int }_{ℝ}{\mathrm{e}}^{-\omega \left|x-t\right|}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$

Bien entendu, dans ce calcul, plusieurs points restent à justifier ! Mais l’idée fondamentale est qu’en utilisant presque uniquement un calcul formel, on obtient la forme générale de la solution. On cherche à accroître l’efficacité de ce calcul symbolique en utilisant ces opérations au sens des distributions.

En s’appuyant sur le fait que l’opérateur de dérivation des distributions est un produit de convolution $T^{\left(n\right)}={\delta }^{\left(n\right)}\ast T$ , on montrera l’importance de la recherche de solutions des équations différentielles, avec second membre la distribution δ (solution de Green).

Dans la définition du produit de convolution de deux distributions, la notion de support d’une distribution joue un rôle fondamental. Nous étudions en détail cette notion délicate dans le premier paragraphe. Nous montrons ensuite comment le produit de convolution permet la recherche de solutions des équations différentielles en utilisant — en grande partie — un calcul algébrique dans une algèbre de convolution convenable. Nous définissons enfin la notion de transformée de Fourier des distributions tempérées et nous étudions les propriétés conjointes du produit de convolution et transformée de Fourier des distributions, propriétés très voisines de celles qui existent pour les fonctions.