, on a bien
indéfiniment dérivable mais jamais à support compact. Ainsi
n’appartient pas
et la formule précédente n’a pas de sens, sauf à pouvoir prolonger T à un espace plus gros que
. L’idée est alors de travailler dans un espace de fonctions tests qui soit invariant par la transformation de Fourier. Le bon espace est l’espace
des fonctions
à décroissance rapide ainsi que leurs dérivées, dit espace des fonctions de Schwartz. C’est d’ailleurs cet espace qui permet la construction la plus simple de la transformée de Fourier dans
. Nous rappellerons tout d’abord les principales propriétés de cet espace de fonctions. Une fois construite la transformée de Fourier des distributions, nous utiliserons abondamment les propriétés de la transformée de Fourier des fonctions – dans
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