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Distributions - Opérations et dérivéesArticle de référence | Réf : AF145 v1
ARTICLE INTERACTIF
Auteur(s) : Michel DOISY
Date de publication : 10 avr. 2005
Relu et validé le 26 avr. 2021
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Il s’agit là d’une notion importante, notamment pour la définition du produit de convolution des distributions.
Rappelons que si f est une fonction de
dans
, son support est le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel elle s’annule. Ou encore :
où la barre désigne la fermeture de l’ensemble.
Le support d’une fonction est toujours un fermé.
On utilise la même idée pour définir le support d’une distribution.
Définition
Soit T dans
et Ω un ouvert non vide de
, on dit que T est nulle sur Ω si et seulement si, pour toute fonction ϕ de
, on a à T, ϕ ñ = 0. Il est équivalent de dire que la restriction de T à
est nulle.
Soit alors la famille {Ωi}i de tous les ouverts sur lesquels T s’annule et Ω = Èi Ωi. C’est un ouvert et l’on peut montrer (ce n’est pas évident !) que T s’annule sur Ω. C’est le plus grand ouvert sur lequel T s’annule.
Définition
Le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel T s’annule est le support de la distribution T noté Supp (T).
Supp (δ a)...
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(1) - GASQUET (C.), WITOMSKI (P.) - Analyse de Fourier et applications. Filtrage – Calcul Numérique – Ondelettes - . 354 p. – Masson – Paris (1990).
(2) - HERVÉ (M.) - Transformation de Fourier et distributions - . 182 p. – PUF – Paris (1986).
(3) - SAICHEV (A.I.), WOYCZYNSKI (W.A.) - Distributions in the physical and engineering sciences. Volume 1. Distributional and fractal calculus, integral transforms and wavelets - . 336 p. – Birkhäuser – Boston (1997).
(4) - SCHWARTZ (L.) - Méthodes mathématiques pour les sciences physiques. - 390 p. Herman-Paris (1965).
(5) - RODDIER (F.) - Distributions et transformation de Fourier - . 323 p. – Ediscience International – Paris (1978).
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