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Article

1 - PROCESSUS ALÉATOIRES : DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS

2 - EXEMPLES DE PROCESSUS ALÉATOIRES

3 - TRANSFORMATIONS DES PROCESSUS ALÉATOIRES

4 - DÉTECTION DANS UN RADAR

5 - DÉTECTION DANS UNE IMAGE

6 - TURBULENCES ATMOSPHÉRIQUES ET OPTIQUES

7 - FIABILITÉ ET MAINTENANCE

8 - SÉRIES FINANCIÈRES MULTI-VARIÉES

9 - CONCLUSION

10 - GLOSSAIRE

11 - SIGLES, NOTATIONS ET SYMBOLES

Article de référence | Réf : TE5222 v1

Fiabilité et maintenance
Processus aléatoires : fondements et applications

Auteur(s) : Michel PRENAT

Date de publication : 10 déc. 2020

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RÉSUMÉ

Les modèles aléatoires ont démontré leur efficacité dans de nombreuses applications, pour décrire et traiter des incertitudes ou des comportements complexes. Les processus aléatoires sont donc à la base de l'ingénierie dans des domaines variés : physique, économie, finance, biologie, etc.
Cet article a pour objectif de présenter les fondements des processus aléatoires et de les illustrer sur des exemples concrets. Après un bref rappel des bases des probabilités, les processus aléatoires sont définis et leurs principales propriétés décrites. Puis sont donnés des exemples de processus aléatoires et de leurs transformations. Enfin plusieurs applications permettent d'illustrer ces notions.

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ABSTRACT

Random Processes - Basis and applications

Random models proved effectiveness in many applications, for uncertainty or complex systems behavior description and management. So random processes are one of engineering basis in various fields: physics, economy, finance, biology, and so on. This article aims to present the random processes fundamentals and to illustrate them by mean of concrete examples. After a short return on probability basis, the random processes are defined and their main properties are described. Some examples of random processes and of their transformations are then given. Finally, several applications are developed in order to illustrate the previous points.

Auteur(s)

  • Michel PRENAT : Ingénieur ECP à la retraite - Ancien professeur associé à l'université Paris Sud

INTRODUCTION

Les modèles aléatoires ont démontré leur efficacité dans de nombreuses applications. Les raisons de fond de ces modèles et de leur utilité sont le sujet de réflexions voire de controverses, où l'on peut distinguer quelques grandes lignes : i)  la « physique » est aléatoire, c'est le modèle de la mécanique quantique, où l'aléa est présent dès le niveau microscopique ; ii) la physique est déterministe au niveau microscopique, mais le passage au macroscopique conduit à un comportement qui est décrit par un modèle aléatoire, c'est le cas de la physique statistique ; iii) la physique est déterministe, mais la complexité du phénomène est telle qu'un modèle aléatoire est le plus efficace (cas du lancer d'un dé) ; iv) les incertitudes et méconnaissances qui existent sur une réalité, elle-même aléatoire ou déterministe, sont représentées de façon aléatoire.

Le cadre formel est celui des espaces probabilisés, sur lesquels on définit des applications dans l'ensemble des réels appelées « variables aléatoires », puis des collections de variables aléatoires appelées « processus aléatoires ». Ceux-ci sont donc à la base de l'ingénierie dans des domaines variés : physique, économie, finance, biologie, etc.

Cet article présente les fondements des processus aléatoires et les illustre sur des exemples concrets.

Le premier chapitre contient un rappel des bases des probabilités, les définitions des variables et processus aléatoires, ainsi que leurs principales propriétés, comme la covariance, la stationnarité, la représentation spectrale. Le deuxième chapitre donne des exemples de processus aléatoires fondamentaux, dont l'utilisation a un caractère universel, comme le processus de Poisson ou les chaînes de Markov. Le troisième chapitre décrit des transformations de processus aléatoires, comme le filtrage, le seuillage, l'identification. Enfin cinq chapitres sont consacrés chacun à une application particulière (radar, image, turbulences atmosphériques et optiques, maintenance, séries financières), avec comme objectif d'illustrer les développements précédents, mais aussi de décrire certaines techniques spécifiques.

Les développements mathématiques sont aussi réduits que possible, bien que certains raisonnements soient explicités lorsque cela semble nécessaire.

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KEYWORDS

random process   |   thresholding   |   detection   |   Markov chains   |   maintenance   |   Poisson process   |   spectral representation   |   image   |   turbulences   |   multivariate series

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-te5222


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7. Fiabilité et maintenance

Les processus aléatoires sont « omniprésents » dans ce domaine, pour modéliser le processus de défaillance ou de panne dans un composant ou un système complexe, ainsi que les évolutions au cours du temps de l'état du système.

7.1 Fonction de fiabilité

Pour un composant donné, si son fonctionnement commence à l'instant t = 0, on définit sa durée de vie τ comme le premier instant où il tombe en panne ou, ce qui revient au même, le temps pendant lequel il a fonctionné correctement, τ est une variable aléatoire et l'on définit la fonction (non décroissante) , c'est la probabilité pour que le composant tombe en panne avant l'instant t, variant en général de 0 pour t = 0 à 1 pour t infini. On définit la fonction de t complément à 1 de Q, soit P (t) = 1 − Q (t), appelée « fonction de fiabilité » : P (t), fonction non croissante, est la probabilité pour que le composant ne tombe pas en panne entre 0 et t. Enfin, la fonction q (t) = Q'(t), lorsque la dérivée existe, est la densité de probabilité de panne à l'instant t. Le cas où la dérivée à un instant t 0 n'existerait pas correspond à une probabilité de panne non nulle à l'instant t 0 exactement, cas que nous n'envisagerons pas par la suite.

Le cas le plus « simple » est celui d'un processus de panne qui est un processus de Poisson d'intensité λ constante. Alors P(t) suit une loi exponentielle (voir au § 2.1) : P(t) = eλt, soit...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BAYSSE (C.) -   Analyse et optimisation de la fiabilité d'un équipement opto-électronique de hums.  -  Thèse Université de Bordeaux 1 (2013).

  • (2) - SAPORTA (B. de), DUFOUR (F.), ZHANG (H.) -   Numerical Methods for Simulation and Optimization of Piecewise Deterministic Markov Processes.  -  Mathematics and Statistic Series. Wiley, springer.com (2016).

  • (3) - DULLEMOND (C.P.) -   Atmospheric turbulence effects and signal theory.  -  Beobachtende Astronomie (MKEP5) – Summersemester (2010).

  • (4) - EATON (J.W.), BATEMAN (D.), HAUBERG (S.), WEHBRING (R.) -   *  -  . – GNU Octave version 5.2.0 manual : a high-level interactive language for numerical computations (2020).

  • (5) - GNEDENKO (B.V.), BELYAYEV (Y.K.), SOLOVYEV (A.D.) -   Mathematical Methods of Reliability Theory.  -  Probability and Mathematical Statistics. Academic Press, London (1969).

  • ...

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