Présentation
Auteur(s)
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Claude HUMBERT : Ingénieur de l’École Nationale Supérieure d’Électricité et de Mécanique de Nancy - Professeur à l’Université de Nancy I - Directeur du Laboratoire d’Automatique et Recherche Appliquée, composante du CRAN (Centre de Recherche en Automatique de Nancy) Unité associée au CNRS (URA 821)
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Michel AUBRUN : Ingénieur de l’École Nationale Supérieure d’Électricité et de Mécanique de Nancy - Professeur à l’Université de Nancy I - Directeur du Laboratoire d’Automatique et Recherche Appliquée, composante du CRAN (Centre de Recherche en Automatique de Nancy) Unité associée au CNRS (URA 821)
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Lire l’articleINTRODUCTION
Le présent article a pour but la représentation de la réponse en fréquences d’un système linéaire échantillonné au moyen de différents diagrammes.
Comme dans le cas des systèmes linéaires continus (article Étude fréquentielle des systèmes continus Étude fréquentielle des systèmes continus, dans le présent traité), on cherche à représenter la réponse en fréquences en boucle ouverte.
On utilise principalement les diagrammes de Nyquist ou de Bode (§ 2 et 3), dans des conditions cependant différentes, liées à la forme particulière des fonctions de transfert échantillonnées.
On peut également utiliser la technique des lieux des racines 4.
Dans tous les cas, les caractéristiques déduites des différents lieux permettent d’exprimer des performances des systèmes en boucle ouverte et en boucle fermée.
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4. Lieu des racines ou lieu d’Evans
La méthode du lieu des racines (ou lieu des pôles) peut être appliquée aux asservissements pulsés (ou échantillonnés).
Cependant, il ne faut pas oublier que, d’une part, les pôles et éventuellement les zéros de F *(p ) sont en nombre infini et que, d’autre part, le lieu se reproduit périodiquement avec la période Ω.
Il est, en fait, plus simple d’envisager un lieu d’Evans dans le plan de z, où le nombre de pôles et de zéros est limité.
La différence entre l’utilisation du plan de p et celle du plan de z intervient au niveau de l’interprétation du lieu : l’instabilité, par exemple, se produit, dans le plan de z, lorsque le lieu traverse le cercle unité. Cette intersection permet de définir une valeur limite du gain. La rapidité d’une réponse périodique dépend de la distance séparant les pôles réels de 1 ; les réponses sont d’autant moins amorties que des pôles conjugués sont voisins du cercle unité. La figure 20 résume les différentes possibilités.
4.1 Lieu des racines dans le plan de z
Considérons un système asservi échantillonné, où l’installation KG (p ) de gain K est précédée d’un bloqueur B 0 .
L’équation caractéristique est (article Étude fréquentielle des systèmes continus Étude fréquentielle des systèmes continus) :
ou
Comme pour l’étude des asservissements linéaires continus, on peut tracer le lieu des racines en fonction d’un paramètre. Ce dernier est le plus souvent le coefficient k lié au gain K par l’expression :
...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - SEVELY (Y.) - Systèmes et asservissements linéaires échantillonnés. - 210 p., bibl. (39 réf.), Série EEA, Dunod Université (1973).
-
(2) - CARFORT (F. de), FOULARD (C.), CALVET (J.) - Asservissements linéaires continus. - 180 p., bibl. (35 réf.), Série EEA, Dunod Université, 4e éd. (1987).
-
(3) - LARMINAT (Ph. de), THOMAS (Y.) - Automatique des systèmes linéaires. - Tome 1 : Signaux et systèmes, 333 p., Flammarion (1975).
-
(4) - KUNT (M.) - Traité d’électricité. - École Polytechnique de Lausanne, 402 p., bibl. (50 réf.), vol. XX : Traitements numériques des signaux, Éditions Georgi (1980).
-
(5) - VIDAL (P.) - Automatique. - 190 p., bibl. (21 réf.), Dunod Université (1978).
-
(6)...
ANNEXES
Matlab (société The Math Works) http://www.mathworks.com
MATRIXx (National Instruments)
Labview (National Instruments) http://www.ni.com
Acsyde (société Ipsis) http://www.ipsis.com
WINREG et WINPIM (société Adaptech) http://www.adaptech.com
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